Jumat, 10 Juni 2011

RUMUS YANG ANDA BACA Di: Home » RUMUS MATEMATIKA » RUMUS MATEMATIKA DAN LOGIKA TERBARU

RUMUS MATEMATIKA DAN LOGIKA TERBARU

Bagikan Soal Melalui :
F.  MENERAPKAN LOGIKA MATEMATIKA DALAM 
     PEMECAHAN DALAM   PEMECAHAN MASALAH YANG
     BERKAITAN DENGAN PERNYATAAN MAJEMUK  DAN
     PERNYATAAN BERKUANTOR.

A. Mendiskripsikan Pernyataan dan bukan Pernyataan (Kalimat Terbuka).
1. Pernyataan
                      1.1. Pengertian Pernyataan .
Pernyataan adalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, akan tetapi tidak sekaligus benar dan salah.
      1.2. Lambang dan nilai kebenaran suatu pernyataan
            Dalam matematika , pernyataan-pernyataan dengan huruf kecil,seperti a , b ,
             p dan q.Perhatikan contoh berikut !
       1.3. Kalimat Terbuka.
                     Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih mengandung variabel, sehingga
              belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah). Kalimat terbuka
              tersebut dapat diubah menjadi bentuk pernyataan, jika variabelnyadiganti dengan
              suatu konstanta.
              Contoh :
a)    Kalimat terbuka : x + 5 = 9
Jika variabelnya diganti dengan 4 maka 4 + 5 = 9 (pernyataan benar)
b)    Jika variabelnya diganti dengan 7 maka 7 + 5 = 12 (Pernyataan salah)
B. Mendeskripsikan, Ingkaran, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, Biimplikasi Dan
     Ingkaranya.
B.1. Pernyataan Majemuk.
                 Apabila suatu pernyataan terdiri lebih dari satu pernyataan maka diantara satu
        pernyataan dengan pernyataan lainnya dibutuhkan suatu kata penghubung sehingga
        diperoleh suatu pernyataan majemuk.
                  Untuk Logika matematika ada 5 macam penghubung pernyataan yaitu
         ingkaran (negasi) (tidak), konjungsi (dan), disjungsi (atau),implikasi(jika…maka…)
         dan biimplikasi (jika dan hanya jika).

Operasi Logika    Penghubung    Lambang

Ingkaran    Tidak, non     ~ atau -

Konjungsi    Dan   

Disjungsi    Atau   

Implikasi    Jika….maka….   

Biimplikasi    Jika dan hanya jika   



         Ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi disebut operasi dalam
         logika.Simbol-simbol dari operasi dalam logika diberikan dalam tabel berikut.
Ingkaran atau Negasi atau penyangkalan
Nilai kebenaran dapat dituliskan dalam bentuk tabel yang dinamakan tabel kebenaran seperti berikut.




p    ~ p
B
S    S
B

1.2. Operasi Konjungsi
       Operasi konjungsi merupakan operasi biner (operasi yang dikenakan pada dua
       pernyataan) yang dilambangkan dengan tanda “ ”. Dengan operasi ini dua
       pernyataan dihubungkan dengan kata “ dan “.

       Jika p dan q dua pernyataan , maka p q bernilai benar jika p dan q keduanya
       bernilai benar, sebaliknya p q bernilai salah jika salah satu dari p atau q bernilai
       salah atau keduanya salah.
Tabel nilai kebenaran dari operasi konjungsi.
   
p    q    p q

B
B
S
S    B
S
B
S    B
S
S
S

1.3. Operasi Disjungsi
       Operasi disjungsi juga merupakan operasi binary yang dilambangkan dengan tanda 
       ” ”. Operasi ini menggabungkan dua pernyataan menjadi satu dengan kata
        hubungan “atau”.
        Jika p dan q dua pernyataan maka p q bernilai benar jika p dan q keduanya
        bernilai benar atau salah salah satu dari p atau q bernilai benar, sebaliknya p q 
       bernilai salah jika keduanya bernilai salah.            
         Tabel nilai kebenaran Disjungsi
p    q    p q

B
B
S
S    B
S
B
S    B
B
B
S

1.4. Operasi Implikasi.
        Operasi implikasi (kondisional) adalah operasi penggabungan dua pernyataan yang
         menggunakan kata hubung “ jika …. Maka ….” Yang dilambangkan “  “.
         Implikasi dari pernyataan p dan q ditulis  p q dan dibaca “ jika p maka q”.
         Pernyataan bersyarat p q juga dapat dibaca “ p hanya jika q” atau “ p adalah
         syarat cukup bagi q atau “ q adalah syarat perlu bagi p”.
         Dalam pernyataan p q
         p disebut hipotesa / anteseden / sebab
         q disebut koklusi / konequen / akibat

         Jika p dan q dua buah pernyataan maka p q salah jika p benar dan q
         salah,dalam kemungkinan lainnya p q benar.
          Tabel nilai kebenaran operasi implikasi

p    q    p q

B
B
S
S    B
S
B
S    B
S
B
B

1.5. Operasi Biimplikasi ( Bikondisional).
       Biimplikasi yaitu pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung  “……jika
       dan hanya jika …..” dinotasikan  “ ” . 
       Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis  p   q  dibaca p jika dan hanya jika q.
       Pernyataan  p   q  dapat juga dibaca :
1)    p equivalent q
2)    p adalah syarat perlu dan cukup bagi q

Jika  pdan q dua buah pernyatan maka  p   q  benar bila kedua pernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama, sebaliknya p   q  salah bila salah satu salah , atau salah satu benar .
       Tabel nilai kebenaran operasi Biimplikasi.
   
p    q    p q

B
B
S
S    B
S
B
S    B
S
S
B

1.6. Menentukan Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk.
       Dari pernyataan-pernyataan tunggal  p,  q,  r,  . . . dan dengan menggunakan operasi-opersi
       pernyataan  negasi (~), konjungsi ( ), disjungsi ( ), implikasi ( ) dan biimplikasi ( )
       dapat disusun suatu pernyataan majemuk yang lebih rumit.
        Contoh : 1)  ~( p   ~q)
               2)  ~
        3)  
       Nilai kebenaran pernyataan majemuk seperti itu dapat ditentukan dengan menggunakan
       pertolongan tabel kebenaran dasar untuk negasi, konjungsi, disjungsi , implikasi dan
       biimplikasi yang telah dibahas di depan.Untuk memahami cara-cara menentukan nilai
       kebenaran pernyataanmajemuk yang lebih rumit ,perhatikan contoh berikut .
       Contoh 1: Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk  ~ ( p   ~q ).
        Jawab  :  
   
p    q    ~q    ( p q )
~ ( p   ~q ).

B
B
S
S    B
S
B
S    S
B
S
B    B
B
S
B    S
S
B
S


        Jadi nilai kebenaran pernyataan majemuk  ~ ( p   ~q ) adalah  S  S B S

C. Mendeskripsikan Invers, Konvers Dan Kontraposisi
       Dari suatu pernyataan bersyarat  “ p  q ” yang diketahui dapat dibuat pernyataan lain
       sebagai berikut :
1)     q    p    disebut pernyataan Konvers dari p  q
2)    ~p   ~q  disebut pernyataan Invers dari p  q
3)    ~q   ~p  disebut pernyataan Kontraposisi dari p  q
Untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen p dan q, hubungan nilai kebenaran konvers, invers, dan kontraposisi dengan implikasi semula, dapat ditunjukkan dengan memakai tabel kebenaran .
Tabel hubungan nilai kebenaran q    p, ~p   ~q , ~q   ~p  dengan  p  q
    Implikasi    Konvers    Invers    Kontraposisi
p    q    ~p    ~q        p  q
    q    p
~p   ~q
~q   ~p

B    B    S    S    B    B    B    B
B    S    S    B    S    B    B    S
S    B    B    S    B    S    S    B
S    S    B    B    B    B    B    B

        Dari tabel diatas ternyata :
Suatu implikasi yang salah konversnya benar, tetapi implikasinya yang benar

C.1. Negasi Pernyataan Majemuk
       Untuk menentukan negasi dari pernyataan majemuk dapat digunakan sifat-sifat negasi
       pernyataan majemuk pada tabel berikut ini:
Operasi    Lambang    Negasi
Konjungsi   


Disjungsi   


Implikasi   


Biimplikasi   
  atau 


       Contoh : Tentukan negasi dari pernyataan majemuk berikut !
D. Menerapkan Modus ponens, modus tollens dan prinsip silogisme Dalam Menarik
     Kesimpulan
    Dasar-dasar logika matematika yang telah kita pelajari pada subbab terdahulu akan diterapkan lebih lanjut dalam proses penarikan kesimpulan . Suatu proses penarikan kesimpulan terdiri atas beberapa pernyataanyang dikeahui (disebut premis), Kemudian dengan memakai prinsip logika dapat diturunkan suatu pernyataan baru yang ditarik dari premis-premis semula (disebut kesimpulan / konklusi). Penarikan seperti itu disebut argumentasi. Kalau konjungsi dari premis-premis berimplikasi konklusi maka argumentasi itu dikatakan berlaku atau sah.Sebaliknya, kalau konjungsi dari premis-premis tidak berimplikasi konklusi maka argumentasi itu dikatakan tidak sah. Jadi suatu argumentasi dikatakan sah kalau premis-premisnya benar maka konklusinya juga benar.
    Dalam subbab ini kita akan mempelajari beberapa cara penarikan kesimpulan, diantaranya adalah Modus Ponens, Modus Tollens, dan Silogisme.
D.1. Modus Ponens
Jika   benar dan p benar maka q benar.
Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut :

     . . . . . . premis 1
p              . . . . . . premis 2
                  . . . . .  kesimpulan / konklusi

       Dalam bentuk implikasi, argumentasi tersebut dapat dituliskan sebagai
       . Argumentasi ini dikatakan sah kalau pernyataan implikasi
        merupakan tautologi. Tautologi adalah sebuah pernyataan
       majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari
       pernyataan-pernyataan komponennya.

       Tabel nilai kebenaran dari 
p    q   
 
 

B    B    B    B    B
B    S    S    S    B
S    B    B    S    B
S    S    B    S    B

       Dari tabel pada kolom (5) tampak bahwa   merupakan
       tautologi,jadi argumen tersebut sah.
D.2. Modus Tollens
Jika   benar dan   benar maka p benar
Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut:



  . . . . . premis 1
~q        . . . . . premis  2

       ~p    . . . . . . kesimpulan / konlusi
   
       Dalam bentuk implikasi, modus tollens dapat dituliskan sebagai  ,sah
       atau tidaknya modus tollens dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut !
       
       Tabel nilai kebenaran 
      
p    q    ~p    ~q   
 
 

B    B    S    S    B    S    B
B    S    S    B    S    S    B
S    B    B    S    B    S    B
S    S    B    B    B    B    B

       Dari tabel pada kolom 7 tampak bahwa merupakan tautologi. Jadi
       modus tollens merupakan argumentasi yang sah .

D.3. Silogisma
Dari premis-premis  dan  dapat ditarik konklusi  . Penarikan kesimpulan seperti ini disebut kaidah silogisma . Skema argumnya dapat dinyatakan sebagai berikut :

  . . . . .       premis 1
  . . . . .       premis 2
 . . .        kesimpulan / konklusi

Dalam bentuk implikasi, silogisme dapat dituliskan sebagai   sah atau tidaknya silogisme dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut :

Tabel nilai kebenaran  .

p    q    r   




B    B    B    B    B    B    B    B
B    B    S    B    S    S    S    B
B    S    B    S    B    B    S    B
B    S    S    S    B    S    S    B
S    B    B    B    B    B    B    B
S    B    S    B    S    B    S    B
S    S    B    B    B    B    B    B
S    S    S    B    B    B    B    B

     Dari tabel pada kolom (8) tampak bahwa   merupakan
     tautologi. Jadi silogisme merupakan argumentasi yang sah.

Silahkan Baca Juga di Bawah ini

0 komentar:

Poskan Komentar

 
Suka Soal-soal? Follow @dikutip