Minggu, 26 Juni 2011

RUMUS YANG ANDA BACA Di: Home » RUMUS MATEMATIKA » Rumus Matematika Geometri Dimensi Dua

Rumus Matematika Geometri Dimensi Dua

Bagikan Soal Melalui :
C. MENERAPKAN KONSEP M A T R I K S
1.   Pengertian Matriks
       Dalam kehidupan sehari-hari sering kita dapatkan sekumpulan bilangan yang tersusun menurut baris-baris dan kolom-kolom. Kita ambil suatu contoh yang sederhana, misalnya daftar siswa kelas I Program Akutansi pada suatu SMK seperti berikut.

            Jenis Kelamin        
Kelas    Putra    Putri    Jumlah

 II Ak 1    28    15    43
 II Ak 2    32    10    42
 Jumlah    60    25    85

    Dalam matematika, himpunan bilangan demikian, yaitu himpunan bilangan yang tersusun menurut baris-baris dan kolom-kolom sehingga terbentuk persegi panjang, dan ditempatkan diantara dua kurung disebut matriks.
Tanda kurung yang dipakai : kurung biasa  , kurung siku  , atau kurung bergaris dua  .
Daftar diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut 
Setiap bilangan pada matriks disebut elemen(unsur) matriks. Letak suatu unsur matriks ditentukanoleh baris dan kolom di mana unsur tersebut berada.
Misalnya, pada matriks di atas unsur 25 trletak pada baris ke-3 dan pada kolom ke-2. Suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital  A , B , C ,. . . .  dan seterusnya, sedangkan unsur matriks dinyatakan dengan huruf kecil a, b , c , . . ., dan seterusnya.
 Contoh :
               A =     




Matriks A mempunyai dua baris dan dua kolom. Oleh karena itu kita katakan bahwa matriks A berordo  ditulis   atau  .
Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom dalam matriks tersebut.
2.  Hubungan Matriks Dengan Matriks.
    Matriks A dan matriks B dikatakan berordo sama atau berukuran sama jika banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks B
Contoh : 
              A =   dan   B = 
              Matriks A berordo sama dengan matriks B, yaitu 
 Definisi:
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B, jika dan hanya jika :
a. Matriks A dan B mempunyai ordo sama
b. Unsur-unsur yang seletak pad matriks A dan matriks B sama.
2.     Macam-Macam Matriks
1. Matriks Baris
    Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris
Contoh : A = 
2. Matriks Kolom
    Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom
Contoh :  A =  
3. Matriks Persegi atau Matriks Bujur Sangkar
    Matriks Persegi atau matriks Bujur Sangkar adalah matriks yang mempunyai      jumlah
    baris = jumlah kolom
    Contoh :  A =     ,  jumlah baris = jumlah kolom
4. Matriks Nol
    Matriks Nol adalah Suatu matriks   yang setiap unsurnya 0 berordo  ,ditulis
    dengan huruf  O.
     Contoh :     = 
5. Matriks Segi Tiga
    Matriks Segi Tiga adalah  suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau
    diatas diagonal utama semuanya 0 .
    Contoh  : C =   ,      D = 
           Matriks C disebut matriks segi tiga bawah dan matriks D disebut matriks segitiga atas.
6. Matriks Diagonal
    Matriks Diagonal adalah  suatu matriks bujur sangkar yang  semua unsurnya , kecuali
    unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol.
    Contoh  :  E = 
7. Matriks Skalar
    Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya
    sama.
    Contoh  :  F = 


8. Matriks Identitas atau Matriks Satuan
    Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada
    diagonal utama semuanya satu ditulis dengan huruf  I.
     Contoh :  I3 =          ,  I4  = 
     I3 adalah matriks identitas ordo 3 dan I4 adalah matriks identitas ordo 4
9. Matriks Simetris
    Matriks Simetri adalah  suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j
    sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga  .
    Contoh :  G = 
     Unsur pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9 dan unsur pada baris ke-4 kolom ke-2 juga 9.
10. Matriks Mendatar
      Matriks Mendatar adalah matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom .
      Contoh :  
11. Matriks Tegak
      Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.
      Contoh  :   = 
12. Matriks Transpos ( notasi At )

      Transpos A adalah matriks baru dimana elemen kolom pertama = elemen baris pertama
      matriks A, elemen kolom kedua = elemen baris kedua matriks A, elemen kolom ketiga=
      elemen baris ketiga matriks A.
      Misal Matriks A = 
      Maka Transpos A adalah At =  
      Jadi jika ordo matriks A = 3x4 maka ordo matriks transpos adalah 4x3
      Sifat-sifat matriks transpos
      1) ( A + B )t = At + Bt
      2) ( At )t = A
      3) ( AB )t =  Bt At

3. Operasi Matriks
1. Penjumlahan dan Pengurangan 2 Matriks.
         Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordonya sama.                          
     Misal ordo matriks A = 2 x 3 dan ordo matriks B = 2 x 3, maka keduanya dapat
     dijumlahkan atau dikurangkan.
          Contoh : Jika A =    dan B = 

                   Maka A + B =    = 

                             A – B =   = 
       Beberapa sifat yang berlaku pada penjumlahan matriks
1) A + B = B = A                            ( Sifat Komutatif)
2) (A + B) + C = A + ( B + C)         (Sifat Asosiatif)
3)  A + 0 = 0 + A = A                       (Sifat Identitas tambah)
2.  Perkalian Bilangan Real dengan Matriks
            Jika A suatu ordo m  n dan k  suatu bilangan real (disebut juga sutu skalar), maka kA
      adalah metriks ordo m  n yang unsur-unsurnya diperoleh dengan memperkalikan setiap
      unsur matriks A dengan k. Perkalian seperti ini disebut  perkalian skalar.
      Jadi, jika A , maka: kA

      Contoh : Misal A =   maka  3A = 3   = 

       Sifat-sifat perkalian matriks dengan bilangan real.
       Jika a dan b bilangan real, maka :
1)    ( a + b )A   = aA + bA
2)    a ( A + B ) = aA + aB
3)    a( bA )       = (ab)A
3. Perkalian Matriks dengan Matriks (Perkalian 2 Matriks)

    Matriks A yang berordo m p dangan suatu matriks B yang berordo p n adalah matriks C
    yang berordo m n.

           A m p.B p n = C m n.

     Dalam perkalian matriks ini yang perlu diperhatikan adalah :
     Banyaknya kolom pada matriks A harus sama dengan banyaknya baris pada matriks B.
     Jika hal ini tidak dipenuhi, maka hasil kali matriks tidak didefinisikan.

      Secara umum jika A =      ordo matriks 2  3
                                    B =               ordo matriks 3  2
                                     C = A . B
                                         =             ordo matriks 2  2
                      Dimana  
                                       
                                      
                                      
    Menentukan Determinan dan Invers
1). Determinan Matriks Persegi Berordo 2
    Matriks A = 
     Hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-elemen diagonal
     samping disebut determinan matriks A.
     Notasi determinan matriks A adalah   atau det A = ad – bc
4.    Menentukan Determinan dan Invers
1). Determinan Matriks Persegi Berordo 2

    Matriks A = 
     Hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-elemen diagonal
     samping disebut determinan matriks A.
     Notasi determinan matriks A adalah   atau det A = ad – bc
     Contoh : Jika A =  maka det A = 
                                                                     =  ( 1)(4) – (2)(-3)
                                                                     =  4 +6
                                                                     =  10
  2). Determinan Matriks Persegi Berordo 3
    Matriks A = 
    Cara menentukan det A sebagai berikut :
    Cara 1 : det A =  
                           = 

    Cara 2 : menggunakan aturan Saurrus
                 det A =  
                                                                               
                     -        -       -                +    +         +
                          =  
    3). Invers Matriks Bujur Sangkar
     Jika A dan B matriks ordo nxn, maka B adalah invers matriks A atau B adalah invers dari matriks A dan hanya jika AB = BA = I, I adalah matriks identitas.
    Contoh : Misal A =    dan B = 
                   Maka BA =    =   = I
     Dengan demikian, B adalah invers dari A, di tulis B = A-1.Oleh karena BA = I dan B = A-1 
        maka A-1A = I

     Jika A =   maka invers A (ditulis A-1)   
         dan dirumuskan            

     Harga (ad –bc) disebut determinan dari matriks A atau det A.

     Matriks   mempunyai invers jika dan hanya jika  (ad – bc)   0.
   Jika (ad – bc) = 0 maka matriks  tidak mempunyai invers.Matriks yang
   determinannya = 0, dinamakan matriks Singular.
    .     Penyelesaian Persamaan Linier Dengan Matriks
1).   Penyelesaian Persamaan Linier dua variabel dengan cara determinan
    Untuk menyelesaikan persamaan linier dua variabel yang bentuknya seperti berikut


        Diubah dalam susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi D , Dx dan Dy dengan
D =       = 
Dx =      = 
Dy  =     =
Kemudian x dan y dapat ditentukan dengan    dan  

Silahkan Baca Juga di Bawah ini

0 komentar:

Poskan Komentar

 
Suka Soal-soal? Follow @dikutip