A. Pengertian Turunan
Telah kita ketahui turunan dari fungsi f(x) pada x = a ditentukan dengan rumus.
Jika fungsi f(x) dideferensial untuk semua x maka turunan dari fungsi f(x) untuk sembarang nilai x ditentukan dengan rumus:
dibaca f aksen x disebut turunan dari fungsi f(x).
diperoleh dari dengan x diganti dengan a.
sering ditulis
B. Tafsiran Geometri Dari Turunan
h
Arti fisis turunan adalah gradien garis lurus pada titik gradiennya adalah atau maka . Maka dapat disimpulkan bahwa gradien garis lurus sama dengan turunan pertama suatu fungsi pada 2 titik.
Untuk menentukan turunan fungsi dapat dituliskan dengan salah satu lambang sebagai berikut:
Rumus garis singgung kurva di suatu titik dirumuskan:
Contoh:
1. Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi di bawah ini!
a.
b.
Penyelesaian :
a. maka
=
Jadi turunan pertama 3x-1 adalah 3.
b. maka
=
Jadi kesimpulannya turunan pertama dari adalah 2x+2.
B. Rumus-Rumus Turunan
1. f(x) = c maka = 0
2. f(x) = ax maka = a
3. f(x) = axn maka = a.nxn-1
4. f(x) = u.v maka =
5. f(x) =
Contoh :
1. Tentukan turunan dari fungsi dibawah ini dengan rumus fungsi turunan!
a. y = 12
b. y = 3x2+x-5
c. y =
d. y = 4x3+4x-
jawab :
a. y = 12 c. y =
= 0
=
b. y = 3x2+x-5 d. y = 4x3+4x-
= 6x + 1
2. Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut ini!
a. y = (2x + 5).(x2 +6x)
b. y =
c. Diketahui fungsi f(x) = x2 -10x +3 tentukan nilai x jika = 0
Jawab :
a. y = (2x + 5).(x2 +6x)
f(x) = u.v maka =
Misal u= 2x +5 maka
V = x2 + 6x maka
= = 2.(x2 +6x) + (2x + 6). (2x + 5)
= 2x2 + 12x + 4x2 + 10x + 12x +30
= 6x2 + 34x + 30
b. y =
f(x) =
Misal u = 4x +1 maka
V = x2 +3x -1 maka
c. Diketahui fungsi f(x) = x2 -10x +3 tentukan nilai x jika = 0
C. Turunan Fungsi Trigonometri
Rumus-rumus Turunan Trigonometri
1.
2.
3.
4.
Rumus Trigonometri yang penting
1.
2.
Contoh :
1. Tentukan turunan pertama fungsi-fungsi trigonometri berikut !
a.
b.
c.
Penyelesaian :
a. maka turunan pertamanya adalah .
b. maka turunannya adalah
c. maka turunannya adalah
2. Tentukan turunan pertama fungsi-fungsi trigonometri berikut !
a.
b.
Penyelesaian :
a.
.
b.
.
3. Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini !
a.
b.
c.
d.
Penyelesaian :
a. fungsi seperti ini adalah bentuk perkalian yaitu:
Misal :
Maka turunan pertamanya menjadi :
b. dengan aturan dalil Rantai. Jika
Misal : maka fungsinya menjadi,
.
c. fungsi seperti ini adalah bentuk perkalian yaitu:
Misal :
Maka turunan pertamanya menjadi : = .
d. Fungsi seperti ini adalah fungsi bentuk pembagian:
Misal :
Maka Turunan pertamanya menjadi :
D. Penerapan Turunan/ Persamaan garis singgung kurva pada suatu titik.
Rumus garis singgung kurva di suatu titik dirumuskan:
Contoh :
1. Tentukan garis singgung kurva di titik (2. -3) pada kurva
Jawab:
adalah garis singgung pada kurva pada titik (2. -3).
C. Penerapan Turunan/ Fungsi Naik, Fungsi Turun, Nilai Stasioner dan
Nilai Maksimum/ Nilai Minimum
1. Fungsi f(x) dikatakan sebagai fungsi naik jika .
2. Fungsi f(x) dikatakan sebagai fungsi turun jika
3. Fungsi f(x) dikatakan stasioner jika
4. Fungsi f(x) dikatakan mencapai nilai maksimum jika:
5. Fungsi f(x) dikatakan mencapai nilai minimum jika:
Contoh:
1. Diketahui fungsi . Tentukan interval funsi naik dan interval fungsi turun.
Jawab:
a. Untuk yang fungsi naik
(:6)
maka
(x+ 4).(x - 1)= 0
X=-4 atau x = 1
.-6 .-5 .-4 .1 .2
Jika f(-5)= Jika
= 25 – 15 -4 = 4 +6 -4
= 6 > 0 berarti benar = 6 > 0 Benar
Maka penyelesaiannya: x < -4 atau x > 1.
b. untuk yang fungsi turun .
(:6)
maka
(x+ 4).(x - 1)= 0
X=-4 atau x = 1
.-6 .-5 .-4 .1 .2
Maka penyelesaiannya adalah -4< x < 1.
2. Tentukan nilai dan jenis stasioner fungsi
Jawab :
y =
mempunyai nilai stasioner minimum. Di titik (1, -1).
Telah kita ketahui turunan dari fungsi f(x) pada x = a ditentukan dengan rumus.
Jika fungsi f(x) dideferensial untuk semua x maka turunan dari fungsi f(x) untuk sembarang nilai x ditentukan dengan rumus:
dibaca f aksen x disebut turunan dari fungsi f(x).
diperoleh dari dengan x diganti dengan a.
sering ditulis
B. Tafsiran Geometri Dari Turunan
h
Arti fisis turunan adalah gradien garis lurus pada titik gradiennya adalah atau maka . Maka dapat disimpulkan bahwa gradien garis lurus sama dengan turunan pertama suatu fungsi pada 2 titik.
Untuk menentukan turunan fungsi dapat dituliskan dengan salah satu lambang sebagai berikut:
Rumus garis singgung kurva di suatu titik dirumuskan:
Contoh:
1. Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi di bawah ini!
a.
b.
Penyelesaian :
a. maka
=
Jadi turunan pertama 3x-1 adalah 3.
b. maka
=
Jadi kesimpulannya turunan pertama dari adalah 2x+2.
B. Rumus-Rumus Turunan
1. f(x) = c maka = 0
2. f(x) = ax maka = a
3. f(x) = axn maka = a.nxn-1
4. f(x) = u.v maka =
5. f(x) =
Contoh :
1. Tentukan turunan dari fungsi dibawah ini dengan rumus fungsi turunan!
a. y = 12
b. y = 3x2+x-5
c. y =
d. y = 4x3+4x-
jawab :
a. y = 12 c. y =
= 0
=
b. y = 3x2+x-5 d. y = 4x3+4x-
= 6x + 1
2. Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut ini!
a. y = (2x + 5).(x2 +6x)
b. y =
c. Diketahui fungsi f(x) = x2 -10x +3 tentukan nilai x jika = 0
Jawab :
a. y = (2x + 5).(x2 +6x)
f(x) = u.v maka =
Misal u= 2x +5 maka
V = x2 + 6x maka
= = 2.(x2 +6x) + (2x + 6). (2x + 5)
= 2x2 + 12x + 4x2 + 10x + 12x +30
= 6x2 + 34x + 30
b. y =
f(x) =
Misal u = 4x +1 maka
V = x2 +3x -1 maka
c. Diketahui fungsi f(x) = x2 -10x +3 tentukan nilai x jika = 0
C. Turunan Fungsi Trigonometri
Rumus-rumus Turunan Trigonometri
1.
2.
3.
4.
Rumus Trigonometri yang penting
1.
2.
Contoh :
1. Tentukan turunan pertama fungsi-fungsi trigonometri berikut !
a.
b.
c.
Penyelesaian :
a. maka turunan pertamanya adalah .
b. maka turunannya adalah
c. maka turunannya adalah
2. Tentukan turunan pertama fungsi-fungsi trigonometri berikut !
a.
b.
Penyelesaian :
a.
.
b.
.
3. Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini !
a.
b.
c.
d.
Penyelesaian :
a. fungsi seperti ini adalah bentuk perkalian yaitu:
Misal :
Maka turunan pertamanya menjadi :
b. dengan aturan dalil Rantai. Jika
Misal : maka fungsinya menjadi,
.
c. fungsi seperti ini adalah bentuk perkalian yaitu:
Misal :
Maka turunan pertamanya menjadi : = .
d. Fungsi seperti ini adalah fungsi bentuk pembagian:
Misal :
Maka Turunan pertamanya menjadi :
D. Penerapan Turunan/ Persamaan garis singgung kurva pada suatu titik.
Rumus garis singgung kurva di suatu titik dirumuskan:
Contoh :
1. Tentukan garis singgung kurva di titik (2. -3) pada kurva
Jawab:
adalah garis singgung pada kurva pada titik (2. -3).
C. Penerapan Turunan/ Fungsi Naik, Fungsi Turun, Nilai Stasioner dan
Nilai Maksimum/ Nilai Minimum
1. Fungsi f(x) dikatakan sebagai fungsi naik jika .
2. Fungsi f(x) dikatakan sebagai fungsi turun jika
3. Fungsi f(x) dikatakan stasioner jika
4. Fungsi f(x) dikatakan mencapai nilai maksimum jika:
5. Fungsi f(x) dikatakan mencapai nilai minimum jika:
Contoh:
1. Diketahui fungsi . Tentukan interval funsi naik dan interval fungsi turun.
Jawab:
a. Untuk yang fungsi naik
(:6)
maka
(x+ 4).(x - 1)= 0
X=-4 atau x = 1
.-6 .-5 .-4 .1 .2
Jika f(-5)= Jika
= 25 – 15 -4 = 4 +6 -4
= 6 > 0 berarti benar = 6 > 0 Benar
Maka penyelesaiannya: x < -4 atau x > 1.
b. untuk yang fungsi turun .
(:6)
maka
(x+ 4).(x - 1)= 0
X=-4 atau x = 1
.-6 .-5 .-4 .1 .2
Maka penyelesaiannya adalah -4< x < 1.
2. Tentukan nilai dan jenis stasioner fungsi
Jawab :
y =
mempunyai nilai stasioner minimum. Di titik (1, -1).
