E. MENERAPKAN KONSEP BARISAN DAN DERET DALAM
PEMECAHAN MASALAH
1. Notasi Sigma
Secara umum, pengertian notasi sigma adalah sebagai berikut.
Dibaca “jumlah ak untuk k sama dengan 1 sampai n atau jumlah ak untuk k =1 sampai dengan k = n”
Berikut ini sifat – sifat notasi sigma yang perlu diperhatikan.
1. ak = a1 + a2 + a3 + … + an
2. (ak + bk) = ak + bk
3. cak = c ak
4. ak = ak – p
5. c = (n – m + 1)c
6. ak + ak = ak
7. ak = 0
8. (ak + bk)2 = ak2 + 2 ak bk + bk2
1. Barisan Aritmetika
Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un.
Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan aritmetika, jika selisih untuk setiap suku ke-n (Un) dengan suku sebelumnya (Un-1) adalah tetap (konstan). Selisih tersebut dinamakan beda (b).
Misalkan suku pertama = a, beda b, maka
U1, U2, U3, ..., Un
a, a + b, a + 2b, …, a+(n – 1)b
Dengan demikian, rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah :
Suku Tengah ( Ut)
Jika bilangan berurutan a, b, c membemtuk barisan aritmatika, maka
terdapat hubungan.
2b = a + c atau
2 ( suku tengah ) = jumlah suku tepi
Contoh :
-4, 2, 8, 14, 20, 26, 32. merupakan barisan aritmatika karena
2.14 = 8 + 20 = 2 + 26 = -4 + 32
b. Jika empat bilangan berurutan a, b, c, d, membemtuk barisan aritmatika,
maka terdapat hubungan.
b + c = a + d atau
jumlah suku tengah = jumlah suku tepi
Contoh :
3, 7, 11, 15, 19, 23 merupakan barisan aritmatika karena
11 + 15 = 7 + 19 = 3 + 23
Contoh :
Deret Aritmatika ( Deret Hitung )
Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika. Jika U1, U2, U3, …,Un adalah barisan aitmatika, maka U1 + U2 + U3 + …,Un merupaka deret aritmatika. Jumlah n suku pertama disimbolkan dengan Sn.
Sn = U1 + U2 + U3 + …,Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah :
Menerapkan Konsep Barisan dan Deret Geometri
Barisan Geometri
Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un
Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri, jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke – n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap. Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ), ditulis :
R =
Dimana r ≠ 0 atau r ≠ 1
Misalkan suku pertama sama dengan a, rasio sama dengan r, maka :
U1, U2, U3, ..., Un
a, ar, ar2 , … ,arn – 1
Dengan demikian, rumus suku ke – n barisan geometri adalah :
Deret Geometri
Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku – suku barisan geometri.
Jika U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un adalah barisan geometri, maka U1 + U2 + U3 + …,Un
merupaka deret geometri. Jumlah n suku pertama disimbolkan dengan (Sn)
Sn = U1 + U2 + …, Un-1 + Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah :
4. Deret Geometri Takhingga
Jika suatu deret geometri, Sn = U1 + U2 + …, Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga, maka deret geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan
S∞ = U1 + U2 + …, Un-1 + …
Jika
Jika
Sehingga,runus jumlah deret geometri takhingga untuk
PEMECAHAN MASALAH
1. Notasi Sigma
Secara umum, pengertian notasi sigma adalah sebagai berikut.
Dibaca “jumlah ak untuk k sama dengan 1 sampai n atau jumlah ak untuk k =1 sampai dengan k = n”
Berikut ini sifat – sifat notasi sigma yang perlu diperhatikan.
1. ak = a1 + a2 + a3 + … + an
2. (ak + bk) = ak + bk
3. cak = c ak
4. ak = ak – p
5. c = (n – m + 1)c
6. ak + ak = ak
7. ak = 0
8. (ak + bk)2 = ak2 + 2 ak bk + bk2
1. Barisan Aritmetika
Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un.
Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan aritmetika, jika selisih untuk setiap suku ke-n (Un) dengan suku sebelumnya (Un-1) adalah tetap (konstan). Selisih tersebut dinamakan beda (b).
Misalkan suku pertama = a, beda b, maka
U1, U2, U3, ..., Un
a, a + b, a + 2b, …, a+(n – 1)b
Dengan demikian, rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah :
Suku Tengah ( Ut)
Jika bilangan berurutan a, b, c membemtuk barisan aritmatika, maka
terdapat hubungan.
2b = a + c atau
2 ( suku tengah ) = jumlah suku tepi
Contoh :
-4, 2, 8, 14, 20, 26, 32. merupakan barisan aritmatika karena
2.14 = 8 + 20 = 2 + 26 = -4 + 32
b. Jika empat bilangan berurutan a, b, c, d, membemtuk barisan aritmatika,
maka terdapat hubungan.
b + c = a + d atau
jumlah suku tengah = jumlah suku tepi
Contoh :
3, 7, 11, 15, 19, 23 merupakan barisan aritmatika karena
11 + 15 = 7 + 19 = 3 + 23
Contoh :
Deret Aritmatika ( Deret Hitung )
Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika. Jika U1, U2, U3, …,Un adalah barisan aitmatika, maka U1 + U2 + U3 + …,Un merupaka deret aritmatika. Jumlah n suku pertama disimbolkan dengan Sn.
Sn = U1 + U2 + U3 + …,Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah :
Menerapkan Konsep Barisan dan Deret Geometri
Barisan Geometri
Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un
Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri, jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke – n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap. Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ), ditulis :
R =
Dimana r ≠ 0 atau r ≠ 1
Misalkan suku pertama sama dengan a, rasio sama dengan r, maka :
U1, U2, U3, ..., Un
a, ar, ar2 , … ,arn – 1
Dengan demikian, rumus suku ke – n barisan geometri adalah :
Deret Geometri
Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku – suku barisan geometri.
Jika U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un adalah barisan geometri, maka U1 + U2 + U3 + …,Un
merupaka deret geometri. Jumlah n suku pertama disimbolkan dengan (Sn)
Sn = U1 + U2 + …, Un-1 + Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah :
4. Deret Geometri Takhingga
Jika suatu deret geometri, Sn = U1 + U2 + …, Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga, maka deret geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan
S∞ = U1 + U2 + …, Un-1 + …
Jika
Jika
Sehingga,runus jumlah deret geometri takhingga untuk
