F. MENERAPKAN LOGIKA MATEMATIKA DALAM
PEMECAHAN DALAM PEMECAHAN MASALAH YANG
BERKAITAN DENGAN PERNYATAAN MAJEMUK DAN
PERNYATAAN BERKUANTOR.
A. Mendiskripsikan Pernyataan dan bukan Pernyataan (Kalimat Terbuka).
1. Pernyataan
1.1. Pengertian Pernyataan .
Pernyataan adalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, akan tetapi tidak sekaligus benar dan salah.
1.2. Lambang dan nilai kebenaran suatu pernyataan
Dalam matematika , pernyataan-pernyataan dengan huruf kecil,seperti a , b ,
p dan q.Perhatikan contoh berikut !
1.3. Kalimat Terbuka.
Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih mengandung variabel, sehingga
belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah). Kalimat terbuka
tersebut dapat diubah menjadi bentuk pernyataan, jika variabelnyadiganti dengan
suatu konstanta.
Contoh :
a) Kalimat terbuka : x + 5 = 9
Jika variabelnya diganti dengan 4 maka 4 + 5 = 9 (pernyataan benar)
b) Jika variabelnya diganti dengan 7 maka 7 + 5 = 12 (Pernyataan salah)
B. Mendeskripsikan, Ingkaran, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, Biimplikasi Dan
Ingkaranya.
B.1. Pernyataan Majemuk.
Apabila suatu pernyataan terdiri lebih dari satu pernyataan maka diantara satu
pernyataan dengan pernyataan lainnya dibutuhkan suatu kata penghubung sehingga
diperoleh suatu pernyataan majemuk.
Untuk Logika matematika ada 5 macam penghubung pernyataan yaitu
ingkaran (negasi) (tidak), konjungsi (dan), disjungsi (atau),implikasi(jika…maka…)
dan biimplikasi (jika dan hanya jika).
Operasi Logika Penghubung Lambang
Ingkaran Tidak, non ~ atau -
Konjungsi Dan
Disjungsi Atau
Implikasi Jika….maka….
Biimplikasi Jika dan hanya jika
Ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi disebut operasi dalam
logika.Simbol-simbol dari operasi dalam logika diberikan dalam tabel berikut.
Ingkaran atau Negasi atau penyangkalan
Nilai kebenaran dapat dituliskan dalam bentuk tabel yang dinamakan tabel kebenaran seperti berikut.
p ~ p
B
S S
B
1.2. Operasi Konjungsi
Operasi konjungsi merupakan operasi biner (operasi yang dikenakan pada dua
pernyataan) yang dilambangkan dengan tanda “ ”. Dengan operasi ini dua
pernyataan dihubungkan dengan kata “ dan “.
Jika p dan q dua pernyataan , maka p q bernilai benar jika p dan q keduanya
bernilai benar, sebaliknya p q bernilai salah jika salah satu dari p atau q bernilai
salah atau keduanya salah.
Tabel nilai kebenaran dari operasi konjungsi.
p q p q
B
B
S
S B
S
B
S B
S
S
S
1.3. Operasi Disjungsi
Operasi disjungsi juga merupakan operasi binary yang dilambangkan dengan tanda
” ”. Operasi ini menggabungkan dua pernyataan menjadi satu dengan kata
hubungan “atau”.
Jika p dan q dua pernyataan maka p q bernilai benar jika p dan q keduanya
bernilai benar atau salah salah satu dari p atau q bernilai benar, sebaliknya p q
bernilai salah jika keduanya bernilai salah.
Tabel nilai kebenaran Disjungsi
p q p q
B
B
S
S B
S
B
S B
B
B
S
1.4. Operasi Implikasi.
Operasi implikasi (kondisional) adalah operasi penggabungan dua pernyataan yang
menggunakan kata hubung “ jika …. Maka ….” Yang dilambangkan “ “.
Implikasi dari pernyataan p dan q ditulis p q dan dibaca “ jika p maka q”.
Pernyataan bersyarat p q juga dapat dibaca “ p hanya jika q” atau “ p adalah
syarat cukup bagi q atau “ q adalah syarat perlu bagi p”.
Dalam pernyataan p q
p disebut hipotesa / anteseden / sebab
q disebut koklusi / konequen / akibat
Jika p dan q dua buah pernyataan maka p q salah jika p benar dan q
salah,dalam kemungkinan lainnya p q benar.
Tabel nilai kebenaran operasi implikasi
p q p q
B
B
S
S B
S
B
S B
S
B
B
1.5. Operasi Biimplikasi ( Bikondisional).
Biimplikasi yaitu pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung “……jika
dan hanya jika …..” dinotasikan “ ” .
Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis p q dibaca p jika dan hanya jika q.
Pernyataan p q dapat juga dibaca :
1) p equivalent q
2) p adalah syarat perlu dan cukup bagi q
Jika pdan q dua buah pernyatan maka p q benar bila kedua pernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama, sebaliknya p q salah bila salah satu salah , atau salah satu benar .
Tabel nilai kebenaran operasi Biimplikasi.
p q p q
B
B
S
S B
S
B
S B
S
S
B
1.6. Menentukan Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk.
Dari pernyataan-pernyataan tunggal p, q, r, . . . dan dengan menggunakan operasi-opersi
pernyataan negasi (~), konjungsi ( ), disjungsi ( ), implikasi ( ) dan biimplikasi ( )
dapat disusun suatu pernyataan majemuk yang lebih rumit.
Contoh : 1) ~( p ~q)
2) ~
3)
Nilai kebenaran pernyataan majemuk seperti itu dapat ditentukan dengan menggunakan
pertolongan tabel kebenaran dasar untuk negasi, konjungsi, disjungsi , implikasi dan
biimplikasi yang telah dibahas di depan.Untuk memahami cara-cara menentukan nilai
kebenaran pernyataanmajemuk yang lebih rumit ,perhatikan contoh berikut .
Contoh 1: Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk ~ ( p ~q ).
Jawab :
p q ~q ( p q )
~ ( p ~q ).
B
B
S
S B
S
B
S S
B
S
B B
B
S
B S
S
B
S
Jadi nilai kebenaran pernyataan majemuk ~ ( p ~q ) adalah S S B S
C. Mendeskripsikan Invers, Konvers Dan Kontraposisi
Dari suatu pernyataan bersyarat “ p q ” yang diketahui dapat dibuat pernyataan lain
sebagai berikut :
1) q p disebut pernyataan Konvers dari p q
2) ~p ~q disebut pernyataan Invers dari p q
3) ~q ~p disebut pernyataan Kontraposisi dari p q
Untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen p dan q, hubungan nilai kebenaran konvers, invers, dan kontraposisi dengan implikasi semula, dapat ditunjukkan dengan memakai tabel kebenaran .
Tabel hubungan nilai kebenaran q p, ~p ~q , ~q ~p dengan p q
Implikasi Konvers Invers Kontraposisi
p q ~p ~q p q
q p
~p ~q
~q ~p
B B S S B B B B
B S S B S B B S
S B B S B S S B
S S B B B B B B
Dari tabel diatas ternyata :
Suatu implikasi yang salah konversnya benar, tetapi implikasinya yang benar
C.1. Negasi Pernyataan Majemuk
Untuk menentukan negasi dari pernyataan majemuk dapat digunakan sifat-sifat negasi
pernyataan majemuk pada tabel berikut ini:
Operasi Lambang Negasi
Konjungsi
Disjungsi
Implikasi
Biimplikasi
atau
Contoh : Tentukan negasi dari pernyataan majemuk berikut !
D. Menerapkan Modus ponens, modus tollens dan prinsip silogisme Dalam Menarik
Kesimpulan
Dasar-dasar logika matematika yang telah kita pelajari pada subbab terdahulu akan diterapkan lebih lanjut dalam proses penarikan kesimpulan . Suatu proses penarikan kesimpulan terdiri atas beberapa pernyataanyang dikeahui (disebut premis), Kemudian dengan memakai prinsip logika dapat diturunkan suatu pernyataan baru yang ditarik dari premis-premis semula (disebut kesimpulan / konklusi). Penarikan seperti itu disebut argumentasi. Kalau konjungsi dari premis-premis berimplikasi konklusi maka argumentasi itu dikatakan berlaku atau sah.Sebaliknya, kalau konjungsi dari premis-premis tidak berimplikasi konklusi maka argumentasi itu dikatakan tidak sah. Jadi suatu argumentasi dikatakan sah kalau premis-premisnya benar maka konklusinya juga benar.
Dalam subbab ini kita akan mempelajari beberapa cara penarikan kesimpulan, diantaranya adalah Modus Ponens, Modus Tollens, dan Silogisme.
D.1. Modus Ponens
Jika benar dan p benar maka q benar.
Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut :
. . . . . . premis 1
p . . . . . . premis 2
. . . . . kesimpulan / konklusi
Dalam bentuk implikasi, argumentasi tersebut dapat dituliskan sebagai
. Argumentasi ini dikatakan sah kalau pernyataan implikasi
merupakan tautologi. Tautologi adalah sebuah pernyataan
majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari
pernyataan-pernyataan komponennya.
Tabel nilai kebenaran dari
p q
B B B B B
B S S S B
S B B S B
S S B S B
Dari tabel pada kolom (5) tampak bahwa merupakan
tautologi,jadi argumen tersebut sah.
D.2. Modus Tollens
Jika benar dan benar maka p benar
Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut:
. . . . . premis 1
~q . . . . . premis 2
~p . . . . . . kesimpulan / konlusi
Dalam bentuk implikasi, modus tollens dapat dituliskan sebagai ,sah
atau tidaknya modus tollens dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut !
Tabel nilai kebenaran
p q ~p ~q
B B S S B S B
B S S B S S B
S B B S B S B
S S B B B B B
Dari tabel pada kolom 7 tampak bahwa merupakan tautologi. Jadi
modus tollens merupakan argumentasi yang sah .
D.3. Silogisma
Dari premis-premis dan dapat ditarik konklusi . Penarikan kesimpulan seperti ini disebut kaidah silogisma . Skema argumnya dapat dinyatakan sebagai berikut :
. . . . . premis 1
. . . . . premis 2
. . . kesimpulan / konklusi
Dalam bentuk implikasi, silogisme dapat dituliskan sebagai sah atau tidaknya silogisme dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut :
Tabel nilai kebenaran .
p q r
B B B B B B B B
B B S B S S S B
B S B S B B S B
B S S S B S S B
S B B B B B B B
S B S B S B S B
S S B B B B B B
S S S B B B B B
Dari tabel pada kolom (8) tampak bahwa merupakan
tautologi. Jadi silogisme merupakan argumentasi yang sah.
PEMECAHAN DALAM PEMECAHAN MASALAH YANG
BERKAITAN DENGAN PERNYATAAN MAJEMUK DAN
PERNYATAAN BERKUANTOR.
A. Mendiskripsikan Pernyataan dan bukan Pernyataan (Kalimat Terbuka).
1. Pernyataan
1.1. Pengertian Pernyataan .
Pernyataan adalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, akan tetapi tidak sekaligus benar dan salah.
1.2. Lambang dan nilai kebenaran suatu pernyataan
Dalam matematika , pernyataan-pernyataan dengan huruf kecil,seperti a , b ,
p dan q.Perhatikan contoh berikut !
1.3. Kalimat Terbuka.
Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih mengandung variabel, sehingga
belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah). Kalimat terbuka
tersebut dapat diubah menjadi bentuk pernyataan, jika variabelnyadiganti dengan
suatu konstanta.
Contoh :
a) Kalimat terbuka : x + 5 = 9
Jika variabelnya diganti dengan 4 maka 4 + 5 = 9 (pernyataan benar)
b) Jika variabelnya diganti dengan 7 maka 7 + 5 = 12 (Pernyataan salah)
B. Mendeskripsikan, Ingkaran, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, Biimplikasi Dan
Ingkaranya.
B.1. Pernyataan Majemuk.
Apabila suatu pernyataan terdiri lebih dari satu pernyataan maka diantara satu
pernyataan dengan pernyataan lainnya dibutuhkan suatu kata penghubung sehingga
diperoleh suatu pernyataan majemuk.
Untuk Logika matematika ada 5 macam penghubung pernyataan yaitu
ingkaran (negasi) (tidak), konjungsi (dan), disjungsi (atau),implikasi(jika…maka…)
dan biimplikasi (jika dan hanya jika).
Operasi Logika Penghubung Lambang
Ingkaran Tidak, non ~ atau -
Konjungsi Dan
Disjungsi Atau
Implikasi Jika….maka….
Biimplikasi Jika dan hanya jika
Ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi disebut operasi dalam
logika.Simbol-simbol dari operasi dalam logika diberikan dalam tabel berikut.
Ingkaran atau Negasi atau penyangkalan
Nilai kebenaran dapat dituliskan dalam bentuk tabel yang dinamakan tabel kebenaran seperti berikut.
p ~ p
B
S S
B
1.2. Operasi Konjungsi
Operasi konjungsi merupakan operasi biner (operasi yang dikenakan pada dua
pernyataan) yang dilambangkan dengan tanda “ ”. Dengan operasi ini dua
pernyataan dihubungkan dengan kata “ dan “.
Jika p dan q dua pernyataan , maka p q bernilai benar jika p dan q keduanya
bernilai benar, sebaliknya p q bernilai salah jika salah satu dari p atau q bernilai
salah atau keduanya salah.
Tabel nilai kebenaran dari operasi konjungsi.
p q p q
B
B
S
S B
S
B
S B
S
S
S
1.3. Operasi Disjungsi
Operasi disjungsi juga merupakan operasi binary yang dilambangkan dengan tanda
” ”. Operasi ini menggabungkan dua pernyataan menjadi satu dengan kata
hubungan “atau”.
Jika p dan q dua pernyataan maka p q bernilai benar jika p dan q keduanya
bernilai benar atau salah salah satu dari p atau q bernilai benar, sebaliknya p q
bernilai salah jika keduanya bernilai salah.
Tabel nilai kebenaran Disjungsi
p q p q
B
B
S
S B
S
B
S B
B
B
S
1.4. Operasi Implikasi.
Operasi implikasi (kondisional) adalah operasi penggabungan dua pernyataan yang
menggunakan kata hubung “ jika …. Maka ….” Yang dilambangkan “ “.
Implikasi dari pernyataan p dan q ditulis p q dan dibaca “ jika p maka q”.
Pernyataan bersyarat p q juga dapat dibaca “ p hanya jika q” atau “ p adalah
syarat cukup bagi q atau “ q adalah syarat perlu bagi p”.
Dalam pernyataan p q
p disebut hipotesa / anteseden / sebab
q disebut koklusi / konequen / akibat
Jika p dan q dua buah pernyataan maka p q salah jika p benar dan q
salah,dalam kemungkinan lainnya p q benar.
Tabel nilai kebenaran operasi implikasi
p q p q
B
B
S
S B
S
B
S B
S
B
B
1.5. Operasi Biimplikasi ( Bikondisional).
Biimplikasi yaitu pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung “……jika
dan hanya jika …..” dinotasikan “ ” .
Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis p q dibaca p jika dan hanya jika q.
Pernyataan p q dapat juga dibaca :
1) p equivalent q
2) p adalah syarat perlu dan cukup bagi q
Jika pdan q dua buah pernyatan maka p q benar bila kedua pernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama, sebaliknya p q salah bila salah satu salah , atau salah satu benar .
Tabel nilai kebenaran operasi Biimplikasi.
p q p q
B
B
S
S B
S
B
S B
S
S
B
1.6. Menentukan Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk.
Dari pernyataan-pernyataan tunggal p, q, r, . . . dan dengan menggunakan operasi-opersi
pernyataan negasi (~), konjungsi ( ), disjungsi ( ), implikasi ( ) dan biimplikasi ( )
dapat disusun suatu pernyataan majemuk yang lebih rumit.
Contoh : 1) ~( p ~q)
2) ~
3)
Nilai kebenaran pernyataan majemuk seperti itu dapat ditentukan dengan menggunakan
pertolongan tabel kebenaran dasar untuk negasi, konjungsi, disjungsi , implikasi dan
biimplikasi yang telah dibahas di depan.Untuk memahami cara-cara menentukan nilai
kebenaran pernyataanmajemuk yang lebih rumit ,perhatikan contoh berikut .
Contoh 1: Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk ~ ( p ~q ).
Jawab :
p q ~q ( p q )
~ ( p ~q ).
B
B
S
S B
S
B
S S
B
S
B B
B
S
B S
S
B
S
Jadi nilai kebenaran pernyataan majemuk ~ ( p ~q ) adalah S S B S
C. Mendeskripsikan Invers, Konvers Dan Kontraposisi
Dari suatu pernyataan bersyarat “ p q ” yang diketahui dapat dibuat pernyataan lain
sebagai berikut :
1) q p disebut pernyataan Konvers dari p q
2) ~p ~q disebut pernyataan Invers dari p q
3) ~q ~p disebut pernyataan Kontraposisi dari p q
Untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen p dan q, hubungan nilai kebenaran konvers, invers, dan kontraposisi dengan implikasi semula, dapat ditunjukkan dengan memakai tabel kebenaran .
Tabel hubungan nilai kebenaran q p, ~p ~q , ~q ~p dengan p q
Implikasi Konvers Invers Kontraposisi
p q ~p ~q p q
q p
~p ~q
~q ~p
B B S S B B B B
B S S B S B B S
S B B S B S S B
S S B B B B B B
Dari tabel diatas ternyata :
Suatu implikasi yang salah konversnya benar, tetapi implikasinya yang benar
C.1. Negasi Pernyataan Majemuk
Untuk menentukan negasi dari pernyataan majemuk dapat digunakan sifat-sifat negasi
pernyataan majemuk pada tabel berikut ini:
Operasi Lambang Negasi
Konjungsi
Disjungsi
Implikasi
Biimplikasi
atau
Contoh : Tentukan negasi dari pernyataan majemuk berikut !
D. Menerapkan Modus ponens, modus tollens dan prinsip silogisme Dalam Menarik
Kesimpulan
Dasar-dasar logika matematika yang telah kita pelajari pada subbab terdahulu akan diterapkan lebih lanjut dalam proses penarikan kesimpulan . Suatu proses penarikan kesimpulan terdiri atas beberapa pernyataanyang dikeahui (disebut premis), Kemudian dengan memakai prinsip logika dapat diturunkan suatu pernyataan baru yang ditarik dari premis-premis semula (disebut kesimpulan / konklusi). Penarikan seperti itu disebut argumentasi. Kalau konjungsi dari premis-premis berimplikasi konklusi maka argumentasi itu dikatakan berlaku atau sah.Sebaliknya, kalau konjungsi dari premis-premis tidak berimplikasi konklusi maka argumentasi itu dikatakan tidak sah. Jadi suatu argumentasi dikatakan sah kalau premis-premisnya benar maka konklusinya juga benar.
Dalam subbab ini kita akan mempelajari beberapa cara penarikan kesimpulan, diantaranya adalah Modus Ponens, Modus Tollens, dan Silogisme.
D.1. Modus Ponens
Jika benar dan p benar maka q benar.
Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut :
. . . . . . premis 1
p . . . . . . premis 2
. . . . . kesimpulan / konklusi
Dalam bentuk implikasi, argumentasi tersebut dapat dituliskan sebagai
. Argumentasi ini dikatakan sah kalau pernyataan implikasi
merupakan tautologi. Tautologi adalah sebuah pernyataan
majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari
pernyataan-pernyataan komponennya.
Tabel nilai kebenaran dari
p q
B B B B B
B S S S B
S B B S B
S S B S B
Dari tabel pada kolom (5) tampak bahwa merupakan
tautologi,jadi argumen tersebut sah.
D.2. Modus Tollens
Jika benar dan benar maka p benar
Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut:
. . . . . premis 1
~q . . . . . premis 2
~p . . . . . . kesimpulan / konlusi
Dalam bentuk implikasi, modus tollens dapat dituliskan sebagai ,sah
atau tidaknya modus tollens dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut !
Tabel nilai kebenaran
p q ~p ~q
B B S S B S B
B S S B S S B
S B B S B S B
S S B B B B B
Dari tabel pada kolom 7 tampak bahwa merupakan tautologi. Jadi
modus tollens merupakan argumentasi yang sah .
D.3. Silogisma
Dari premis-premis dan dapat ditarik konklusi . Penarikan kesimpulan seperti ini disebut kaidah silogisma . Skema argumnya dapat dinyatakan sebagai berikut :
. . . . . premis 1
. . . . . premis 2
. . . kesimpulan / konklusi
Dalam bentuk implikasi, silogisme dapat dituliskan sebagai sah atau tidaknya silogisme dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut :
Tabel nilai kebenaran .
p q r
B B B B B B B B
B B S B S S S B
B S B S B B S B
B S S S B S S B
S B B B B B B B
S B S B S B S B
S S B B B B B B
S S S B B B B B
Dari tabel pada kolom (8) tampak bahwa merupakan
tautologi. Jadi silogisme merupakan argumentasi yang sah.
