KUMPULAN RUMUS MATEMATIKA, FISIKA, KIMIA, EKONOMI, BAHASA INGGRIS UNTUK SD, SMP, SMA DAN UMUM

Sabtu, 27 Oktober 2012

Rumus volume dan luas permukaan Bola

Postingan kemarin, saya membahas bagaimana rumus volume limas diperoleh. Sekarang saya akan membahas bagaimana rumus volume bola {\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^{3}}  diperoleh.

Diketahui  persamaan lingkaran dengan jari-jari r dengan titik pusat berada di titik asal pada kordinat kartesius adalah
x^2+y^2=r
solusi untuk y:
y=\pm\sqrt{r^{2}-x^{2}}
Sekarang perhatikan setengah lingkaran bagian atas
y=\sqrt{r^{2}-x^{2}}
fungsi y=\sqrt{r^{2}-r^{2}} kontinyu pada interval \left[-r,r\right]. Jika setengah lingkaran tersebut diputar, kita akan mendapatkan bola. Gunakan metode cakram untuk memperoleh volumenya.
V=\pi\int_{-r}^{r}y^{2}dx
V=\pi\int_{-r}^{r}\left(\sqrt{r^{2}-x^{2}}\right)^{2}dx
v=\pi\int_{-r}^{r}r^{2}-x^{2}dx
V=\pi r^{2}x-\pi\frac{1}{3}x^{3}|_{x=-r}^{x=r}
V=\left(\pi r^{2}r-\pi\frac{1}{3}r^{3}\right)-\left(\pi r^{2}\left(-r\right)-\pi\frac{1}{3}\left(-r\right)^{3}\right)
V=2\pi r^{3}-\frac{2}{3}\pi r^{3}
{\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^{3}}
Viola, kita mendapatkan rumus volume bola.
Selanjutnya kita akan membahas rumus luas permukaan Bola 4\pi r^{2}
Darimana rumus luas permukaan bola diperoleh?
Bayangkan sebua bola dengan jari-jari r tersusun dari potongan-potongan berbentuk limas sebanyak n→∞. Semua limas mempunyai tinggi r dan mempunyai titik puncak di titik pusat bola perhatikan gambar dibawah
Jadi permukaan bola tersusun dari alas-alas limas. Misalkan luas permukaan alas limas dari yang pertama sampai ke-n adalah L_{1},L_{2}\ldots,L_{n} maka luas permukaan bola adalah penjumlahan semua luas alas limas.
LB=L_{1}+L_{2}+\ldots+L_{n}.
Karena bola tersusun dari potongan-potongan limas maka volume bola adalah hasil penjumlahan semua volume limas.
V=\frac{1}{3}rL_{1}+\frac{1}{3}rL_{2}+\ldots+\frac{1}{3}rL_{n}
V=\frac{1}{3}r\left(L_{1}+L_{2}+\ldots+L_{n}\right)
V=\frac{1}{3}rLB
Telah kita bahas diatas bahwa volume bola adalah {\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^{3}}
\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{1}{3}rLB
4\pi r^{2}=LB
Viola kita mendapatkan rumus permukaan bola 4\pi r^{2}.

Share on Facebook
Share on Twitter
Share on Google+
Tags :

Related : Rumus volume dan luas permukaan Bola

0 komentar:

Poskan Komentar