RUMUS –RUMUS TRANSFORMASI GEOMETRI
NO TRANSFORMASI PEMETAAN MATRIKS TRANSFORMASI
1. PENCERMINAN (M)
Terhadap Sb x (Mx)
Terhadap Sb y (My)
Terhadap garis x=y
(M y = x)
Terhadap garis x=-y
(M y =-x)
( x,y ) → ( x,-y )
( x,y ) → (-x,y)
( x,y ) → ( y,x )
( x,y ) → ( -y,-x )
(■(1&0@0&-1))
(■(-1&0@0&1))
(■(0&1@1&0))
(■(0&-1@-1&0))
2. TRANSLASI T = (■(a@b)) ( x,y ) → ( x+a , y+b )
3. ROTASI
Pusat O(0,0) ,sudut β
Pusat (a,b) , sudut β
( x,y ) → (x1,y1)
x1 = x cos β – y sin β
y1 = x sin β + y cos β
( x,y ) → (x1,y1)
x1= (x-a) cos β – (y-b) sin β + a
y1= (x-a) sin β + (y-b) cos β + b
(■(cosβ&-sinβ@sinβ&cosβ))
4. DILATASI
Pusat O(0,0) , faktor skala k
Pusat (a,b) , faktor skala k
( x,y ) → ( kx,ky )
X1 = k x
Y1 = k y
X1 – a = k ( x –a )
Y1 – b = k ( y – b )
(■(x^1@y^1 ))=(■(k&0@0&k))(■(x@y))
(■(x^1@y^1 ))=(■(k&0@0&k))(■(x-a@y-b)) + (■(a@b))
KOMPOSISI TRANSFORMASI
Misalkan T1 : adalah suatu transformasi yang memetakan A(x,y) ke titik A’(x’,y’) .
T2 : adalah suatu transformasi yang memetakan A’(x’,y’) ke titik A”(x”,y”)
Transformasi T1 dilanjutkan T2 memetakan titik A(x,y) ke titik A”(x”,y”).
A(x,y T1 2 T2
Pengerjaan transformasi T1 dilanjutkan T2 dapat ditulis T2 o T1 A(x,y) → A”(x”,y”)
Bentuk transformasi T2oT1 (dibaca T2 komposisi T1) dinamakan sebagai komposisi transformasi .
Catatan :
Lambang T2 o T1 A(x,y) : menyatakan transformasi T1 dikerjakan lebih dulu , dilanjutkan
transformasi T2 .
T1oT2 A(x,y) : menyatakan transformasi T2 dikerjakan lebih dulu , dilanjutkan
transformasi T1 .
Komposisi dua Translasi Berurutan .
( T2 o T1 )(P(x,y)) = (T1+T2) (P(x,y))
Contoh : T1 : adalah translasi yg diwakili oleh (■(1@2))
T2 : adalah translasi yg diwakili oleh (■(2@5))
Tentukan : T2 o T1 A(-4,10)
Jawab : A(-4,10) T1=(■(1@2)) A’(-3,12) T2=(■(2@5)) A”(-1,17)
Jadi , T2 o T1 A(-4,10) adalah A”(-1,17)
Komposisi Dua Pencerminan terhadap Dua Sumbu yang sejajar Sumbu X .
Bayangan / peta titik P (x,y) akibat pencerminan terhadap garis y = a dilanjutkan pencerminan terhadap garis y = b adalah P’ ( x , 2(b-a) + y )
Komposisi Dua Pencerminan terhadap Dua Sumbu yang sejajar Sumbu Y .
Bayangan / peta titik P (x,y) akibat pencerminan terhadap garis x = a dilanjutkan pencerminan terhadap garis x = b adalah P’ (2(b-a) + x , y )
Contoh :
Tentukan bayangan titik A(1,4) oleh pencerminan :
Terhadap garis y = 3 dilanjutkan terhadap garis y = 5
Terhadap garis x = 6 dilanjutkan terhadap garis x = 8
Jawab :
A (x,y) My=b o My=a A’ (x , 2(b-a)+ y )
A (1,4) My=5 o My=3 A’ (1 , 2(5-3)+ 4 ) = A’ (1,8 )
A (x,y) Mx=b o Mx=a A’ ( 2(b-a) + x , y )
A (1,4) Mx=8 o Mx=6 A’ ( 2(8-6)+ 1 , 4 ) = A’ (5,4 )
Komposisi Dua Pencerminan terhadap Dua Sumbu yang Saling Tegak Lurus.
Bayangan ttk P(x,y) oleh pencerminan garis x = a dilanjutkan oleh pencerminan garis
y = b adalah P” (2a – x , 2b – y )
Contoh :
Tentukan bayangan/peta titik A(3,2) , jika dicerminkan berturut-turut terhadap garis x = 4 dilanjutkan garis y = 2 .
Jawab :
A (3,1) Mx=4 A’(x’,y’) My=5 A”(x”,y”)
A(3,1) My=5 o Mx=4 A”(x”,y”) = A” (2a – x , 2b – y )
= A”(2.4 – 3,2.5 -1)
= A”( 5 , 9 )
Jadi bayangan titik A(3,1) oleh pencerminan terhadap garis x = 4 dilanjutkan garis y = 5 adalah A”( 5 , 9 )
Komposisi Dua Pencerminan terhadap Dua Garis Berpotongan .
itik
Contoh :
Tentukan bayangan titik A(5,1),jika dicerminkan berturut-turut terhadap garis y = 2 dilanjutkan garis y = x .
Jawab :
Misalkan : M1 : pencerminan terhadap garis y = 2
M2: pencerminan terhadap garis y = x
P adalah titik potong garis y = 2 dan y = x , maka P (2,2)
( M2 oM1)(A) = Rotasi [ P,2β ]
( M2 oM1)(5,1) = Rotasi [ (2,2),2(450) ]
= Rotasi[ (2,2) , 900) ]
A(5,1) M2 oM1 A”(x”,y”)
(■(x^"@y^" )) = (■(cos〖90〗^0&-sin〖〖90〗^0 〗@sin〖90〗^0&cos〖90〗^0 )) (■(3@-1)) + (■(2@2))
NO TRANSFORMASI PEMETAAN MATRIKS TRANSFORMASI
1. PENCERMINAN (M)
Terhadap Sb x (Mx)
Terhadap Sb y (My)
Terhadap garis x=y
(M y = x)
Terhadap garis x=-y
(M y =-x)
( x,y ) → ( x,-y )
( x,y ) → (-x,y)
( x,y ) → ( y,x )
( x,y ) → ( -y,-x )
(■(1&0@0&-1))
(■(-1&0@0&1))
(■(0&1@1&0))
(■(0&-1@-1&0))
2. TRANSLASI T = (■(a@b)) ( x,y ) → ( x+a , y+b )
3. ROTASI
Pusat O(0,0) ,sudut β
Pusat (a,b) , sudut β
( x,y ) → (x1,y1)
x1 = x cos β – y sin β
y1 = x sin β + y cos β
( x,y ) → (x1,y1)
x1= (x-a) cos β – (y-b) sin β + a
y1= (x-a) sin β + (y-b) cos β + b
(■(cosβ&-sinβ@sinβ&cosβ))
4. DILATASI
Pusat O(0,0) , faktor skala k
Pusat (a,b) , faktor skala k
( x,y ) → ( kx,ky )
X1 = k x
Y1 = k y
X1 – a = k ( x –a )
Y1 – b = k ( y – b )
(■(x^1@y^1 ))=(■(k&0@0&k))(■(x@y))
(■(x^1@y^1 ))=(■(k&0@0&k))(■(x-a@y-b)) + (■(a@b))
KOMPOSISI TRANSFORMASI
Misalkan T1 : adalah suatu transformasi yang memetakan A(x,y) ke titik A’(x’,y’) .
T2 : adalah suatu transformasi yang memetakan A’(x’,y’) ke titik A”(x”,y”)
Transformasi T1 dilanjutkan T2 memetakan titik A(x,y) ke titik A”(x”,y”).
A(x,y T1 2 T2
Pengerjaan transformasi T1 dilanjutkan T2 dapat ditulis T2 o T1 A(x,y) → A”(x”,y”)
Bentuk transformasi T2oT1 (dibaca T2 komposisi T1) dinamakan sebagai komposisi transformasi .
Catatan :
Lambang T2 o T1 A(x,y) : menyatakan transformasi T1 dikerjakan lebih dulu , dilanjutkan
transformasi T2 .
T1oT2 A(x,y) : menyatakan transformasi T2 dikerjakan lebih dulu , dilanjutkan
transformasi T1 .
Komposisi dua Translasi Berurutan .
( T2 o T1 )(P(x,y)) = (T1+T2) (P(x,y))
Contoh : T1 : adalah translasi yg diwakili oleh (■(1@2))
T2 : adalah translasi yg diwakili oleh (■(2@5))
Tentukan : T2 o T1 A(-4,10)
Jawab : A(-4,10) T1=(■(1@2)) A’(-3,12) T2=(■(2@5)) A”(-1,17)
Jadi , T2 o T1 A(-4,10) adalah A”(-1,17)
Komposisi Dua Pencerminan terhadap Dua Sumbu yang sejajar Sumbu X .
Bayangan / peta titik P (x,y) akibat pencerminan terhadap garis y = a dilanjutkan pencerminan terhadap garis y = b adalah P’ ( x , 2(b-a) + y )
Komposisi Dua Pencerminan terhadap Dua Sumbu yang sejajar Sumbu Y .
Bayangan / peta titik P (x,y) akibat pencerminan terhadap garis x = a dilanjutkan pencerminan terhadap garis x = b adalah P’ (2(b-a) + x , y )
Contoh :
Tentukan bayangan titik A(1,4) oleh pencerminan :
Terhadap garis y = 3 dilanjutkan terhadap garis y = 5
Terhadap garis x = 6 dilanjutkan terhadap garis x = 8
Jawab :
A (x,y) My=b o My=a A’ (x , 2(b-a)+ y )
A (1,4) My=5 o My=3 A’ (1 , 2(5-3)+ 4 ) = A’ (1,8 )
A (x,y) Mx=b o Mx=a A’ ( 2(b-a) + x , y )
A (1,4) Mx=8 o Mx=6 A’ ( 2(8-6)+ 1 , 4 ) = A’ (5,4 )
Komposisi Dua Pencerminan terhadap Dua Sumbu yang Saling Tegak Lurus.
Bayangan ttk P(x,y) oleh pencerminan garis x = a dilanjutkan oleh pencerminan garis
y = b adalah P” (2a – x , 2b – y )
Contoh :
Tentukan bayangan/peta titik A(3,2) , jika dicerminkan berturut-turut terhadap garis x = 4 dilanjutkan garis y = 2 .
Jawab :
A (3,1) Mx=4 A’(x’,y’) My=5 A”(x”,y”)
A(3,1) My=5 o Mx=4 A”(x”,y”) = A” (2a – x , 2b – y )
= A”(2.4 – 3,2.5 -1)
= A”( 5 , 9 )
Jadi bayangan titik A(3,1) oleh pencerminan terhadap garis x = 4 dilanjutkan garis y = 5 adalah A”( 5 , 9 )
Komposisi Dua Pencerminan terhadap Dua Garis Berpotongan .
itik
Contoh :
Tentukan bayangan titik A(5,1),jika dicerminkan berturut-turut terhadap garis y = 2 dilanjutkan garis y = x .
Jawab :
Misalkan : M1 : pencerminan terhadap garis y = 2
M2: pencerminan terhadap garis y = x
P adalah titik potong garis y = 2 dan y = x , maka P (2,2)
( M2 oM1)(A) = Rotasi [ P,2β ]
( M2 oM1)(5,1) = Rotasi [ (2,2),2(450) ]
= Rotasi[ (2,2) , 900) ]
A(5,1) M2 oM1 A”(x”,y”)
(■(x^"@y^" )) = (■(cos〖90〗^0&-sin〖〖90〗^0 〗@sin〖90〗^0&cos〖90〗^0 )) (■(3@-1)) + (■(2@2))
