JURUSAN TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS LAMPUNG
2009/2010
Rumus - rumus reduksi
Hasil pembelajaran:
Menerapkan integrasi per bagian dan membuat rumus reduksi
Menerapkan integrasi per bagian dengan menggunakan rumus reduksi
Menghitung integral-integral yang integrannya berbentuk sin ⁿ x dan cos ⁿ x dengan menggunakan rumus-rumus reduksi
1
Anda akan memakai integrasi per bagian ( integration by part ),sebagai berikut:
∫ u dv = u v - ∫ v du
2
Selesaikan soal di bawah ini :
∫ x ² e x dx =.....
∫ x² e ͯ dx = e ͯ [ x - 2x + 2 ] + C
Berikut ini adalah pengerjaannya.
∫ x ² e ͯ dx = x² ( e ͯ ) - 2 ∫ e ͯ x dx
= x² e ͯ - 2 [ x ( e ͯ ) - ∫ e ͯ dx ]
= x² e ͯ - 2 x e ͯ + 2 e ͯ + C
= e ͯ [x² - 2 x + 2] + C
3
Selesaikan soal di bawah ini :
∫ x ⁿ e ͯ dx =
I ⁿ = x ⁿ e ͯ - n I ⁿ -1
∫ x ⁿ e ͯ dx = x ⁿ ( e ͯ ) – n ∫ e ͯ x ⁿ -1 dx
= x ⁿ e ͯ – n ∫ e ͯ x ⁿ -1 dx
Jika kita tulis ∫ x ⁿ e ͯ dx sebagai I ⁿ
Maka kita dapat menyatakan ∫ e ͯ x ⁿ -1 dx sebaagai I ⁿ -1
Jika I ⁿ = ∫ x ⁿ e ͯ dx
Maka, I ⁿ= x ⁿ e ͯ - n I ⁿ -1
4
Tinjaulah ∫ x 2 e ͯ dx
= e ͯ [x 2 - 2x + 2 ] + C
Misalkan Iⁿ = ∫ x ⁿ e ͯ dx n = 2
Dimana Iⁿ = x ⁿ e ͯ - n.I ⁿ -1
Kita substitusikan integral tersebut,maka :
I ₂ = x² e ͯ - 2. I 1 dan
I ¹ = x² e ͯ - 1. I0
Jadi , I 0 = ∫ x 0 e ͯ dx + 1 e ͯ dx = ∫ e ͯ dx = e ͯ + C
Jadi I ₂ = x² e ͯ - 2. I 1
Dan I ¹ = xe ͯ - e ͯ + C 1
I ₂ = x² e ͯ - 2 x e ͯ + 2 e ͯ + C
= e ͯ [x² - 2 x+ 2 ]
5
The formula for succes is simp le: practice and concentration
then more practice and more concentration. (Rumus keberhasilan
adalah simpel, yaitu praktik dan konsentrasi kemudian
meningkatkan praktik dan meningkatkan konsentrasi).
Tentukanlah ∫ x 3 e ͯ dx
= e ͯ [ x 3 - 3x2 +6x -6 ]
Iⁿ = x ⁿ e ͯ - n.I ⁿ -1
n = 3 I 3 = x3 e ͯ - 3. I 2
n = 2 I 2 = x2 e ͯ - 2. I 1
n = 1 I 1 = x e ͯ - 1. I 0
dan I 0 = ∫ x 0 e ͯ dx = ∫ e ͯ dx = e ͯ + C
I 3 = x3 e ͯ - 3. I 2
= x3 e ͯ - 3[ x2 e ͯ + 2. I 1]
= x3 e ͯ - 3[ x2 e ͯ - 2 (x e ͯ -1. I 0 )]
= x3 e ͯ - 3[ x2 e ͯ - 2 (x e ͯ - [e ͯ + C1] )]
= x3 e ͯ - 3x2e ͯ + 6 xeͯ - 6 eͯ - 6 C1
= e ͯ [x3 - 3x2 + 6 x - 6 ] + C
6
Sekarang marilah mencoba untuk mencari rumus reduksi dari integral berikut ∫ xn cos x dx
I n = xn sin x + n x n-1 cos– n ( n x - 1 ) ∫ x n-2 cos x dx
I n = ∫ xn cos x dx
= xn ( sin x ) - n ∫ sin x xn-1 dx
= xn sin x - n ∫ xn-1 sin x dx
Integral tersebut belum merupakan rumus reduksi. Sehingga kita terapkan integral per bagian
I n = xn sin x - n ∫ xn-1 sin x dx
= xn sin x - n . . . . . . . . .
I n = xn sin x + n x n-1 cos x – n ( n - 1 ) ∫ x n-2 cos x dx
Sekarang Anda akan melihat bahwa integral ∫ x n-2 cos x dx sama dengan integral ∫ xn cos x dx, namun dengan n diganti oleh . . . . . . .
n - 2
artinya I n = xn sin x + n x n-1 cos x – n ( n - 1 ). I n – 2
7
Tentukanlah ∫ x2 cos x dx
I 2 = x2 sin x + 2x cos x – 2.1 I0
Substitusikan n = 2
Sekarang I0 = ∫ x0 cos x dx = ∫ cos x dx = sin x + C1
Sehingga I2 = x2 sin x + 2x cos x – 2 sin x + C
8
Tentukanlah rumus reduksi untuk ∫ xn sin x dx
In = - xn cos x + nx sin x – n ( n – 1 ) In -2
Gunakanlah metode intgrasi- per- bagian :
In = ∫ xn sin x dx
= xn ( cos x ) + n ∫ cos x xn-1 dx
= - xn cos x + n { xn-1 ( sin x ) – ( n – 1 ) ∫ sin x xn-2 dx }
= - xn cos x + nxn-1 sin x – n( n – 1 ) In -2
9
I1 = - x cos x + sin x +C1
Carilah intgral dari ∫ x3 sin x dx
Dengan mensubstitusikan n = 3, I3 = - x3 cos x + 3x2 sin x – 3.2 I1
Dan kemudian I1 = ∫ x sin x dx
= . . . . . . . . . . .
Sehingga, I3 = - x3 cos x + 3x2 sin x – 6 I1
I3 = - x3 cos x + 3x2 sin x + 6 x cos x - 6 sin x + C
10
Tentukanlah ∫0π xn cos x dx
Jika I n = ∫ xn cos x dx,maka
I n = xn sin x + n x n-1 cos x – n ( n - 1 ) In -2
Jika kita sekarang menyatakan I n = ∫0π xn cos x dx, maka kita harus memasukkan batas – batasnya ke dalam hasil di ruas kanan :
I n = [ xn sin x + n x n-1 cos x]0π
I n = [ 0 + n π n - 1 ( -1 )]-[ 0 + 0 – n ( n - 1) In -2
I n = - n π n – 1 – n ( n - 1) In -2
11
Carilah integral I n = ∫0π x4 cos x dx, dengan mensubstitusikan n = 4, maka
I 4 = - 4π 3 – 4.3 I2
Dan substitusikan n = 2 untuk mencari I 2 , yaitu I 2
I 2 = - 2π – 2.1 I0
Dan I 0 = ∫0π x0 cos x dx = ∫0π cos x dx = [ sin x ] 0π = 0
Sehingga kita peroleh I 4 = - 4π 3 – 12 I2
I 2 = - 2π – 2 I0
∫0π x4 cos x dx = I 4 = - 4π 3 + 24 π
12
Hitunglah ∫0π x5 cos x dx
I 5 = - 5π 4 + 60 π2 – 240
Sehingga :
I n = - n π n – 1 – n ( n - 1) In -2
I 5 = - 5π 4 – 5.4 I3
I 3 = - 3π 2 – 3.2 I1
Dan I 1 = ∫0π x cos x dx [ (x sin x) ] 0π - ∫0π sin x dx
= [0 - 0] – [ - cos x ] 0x = [ cos x ] 0x = ( -1 ) – ( 1) = -2
I 5 = - 5π 4 – 5.4 I3
I 3 = - 3π 2 – 3.2 I1
I 5 = - 5π 4 + 60π 2 - 240
Rumus – rumus reduksi untuk (a) ∫ sinn x dx dan (b) ∫ cosn x dx
(a) ∫ sinn x dx
Misalkan I n = ∫ sinn x dx = ∫ sinn-1 x. sin x dx = ∫ sinn-1 x. d(- cos x) dx maka, integral per – bagian akan menghasilkan :
I n = sinn-1 x.(- cos x) + ( n – 1 ) ∫ cos x.sin n-2 x . cos x dx
= - sinn-1 x. cos x + ( n – 1 ) ∫ cos 2 x.sin n-2 x dx
= - sinn-1 x. cos x + ( n – 1 ) ∫ ( 1 - sin 2 x ).sin n-2 x dx
= - sinn-1 x. cos x + ( n – 1 ) { ∫ sin n-2 x dx - ∫ sin n x dx }
= - sinn-1 x. cos x + ( n – 1 ) I n-2 - ( n – 1 ) I n
Pindahkan suku di ruas kanan ke ruas kiri, maka kita akan memperoleh :
n. I n= - sinn-1 x. cos x + ( n – 1 )I n-2
dan akhirnya, jika I n = ∫ sinn x dx, maka I n = - (1/n) sinn-1 x cos x + (n-1)/n. I n-2
13
Tentukanlah ∫ sin6 x dx
I6 = - (1/6) sin5 x. cos x - (5/24) sin3 x. cos x –(5/16) sin x. cos x + (5x/16) + C
I6 = - (1/6) sin5 x. cos x + (5/6).I4
I4 = - (1/4) sin3 x. cos x + (3/4).I2
I2 = - (1/2) sin x. cos x + (1/2).I0 I0 = ∫ dx = x + C0
I6 = - (1/6) sin5 x. cos x + (5/6) [-(1/4) sin3 x. cos x + (3/4) .I2 ]
= - (1/6) sin5 x. cos x - (5/24) sin3 x. cos x + (5/8) [ - (1/2) sin x. cos x + x/2 ] + C
= - (1/6) sin5 x. cos x - (5/24) sin3 x. cos x - (5/16) sin x. cos x + (5x/16) + C
14
(b) ∫ cosn x dx
In = ∫ cosn x dx = cos n -1 x. cos x dx = cosn-1 x d (sin x)
= ∫ cosn-1 x.sin x - ( n - 1) ∫ sin x. cos n-2 x.(- sin x ) dx
= cosn-1 x. sin x - ( n - 1) ∫ sin x. cos n-2 x.(- sin x ) dx
= cosn-1 x. sin x + ( n - 1) ∫ sin 2 x. cos n-2 x. dx
= cosn-1 x. sin x + ( n - 1) ∫ ( 1 - cos2x ). cos n-2 x dx
= cosn-1 x. sin x + ( n - 1) { ∫ cosn-2 x - ∫ cos n x dx},sehingga
In = (1/n) cos n-1 x.sin x + (n-1)/n. In-2
15
Carilah integral dari ∫ cos5 x dx
∫ cos5 x dx = (1/5) cos 4 x.sin x +(4/15) cos 2 x.sin x +(8/15) sin x + C
Inilah penyelesaiannya :
I5 = (1/5) cos 4 x.sin x + (4/5)I3
I3 = (1/3) cos 2 x.sin x + (2/3)I1 dan
I1 = ∫cos x dx = sin x + C1
I5 = (1/5) cos 4 x.sin x + (4/5) [ (1/3) cos 2 x.sin x + (2/3) sin x ] + C
= (1/5) cos 4 x.sin x + (4/15) cos 2 x.sin x + (8/15) sin x + C
Integral ∫ sin x dx dan integral ∫ cosn x dx dengan batas – batas x = 0 dan x = π/2,
Kita sudah mengetahui rumus reduksi :
∫ sin x dx = In = - (1/n) sinn-1 x. cos x + (n-1)/n. In-2
Dengan memasukkan bats-batasnya :
In = [- (1/n) sinn-1 x. cos x ] 0π/2 + (n-1)/n. In-2
= [0 - 0] + (n-1)/n. In-2
In = (n-1)/n. In-2
Dan jika Anda melakukan proses yang sama dengan rumus reduksi untuk ∫ cosn x dx.
Anda akan mendapat hasil yang persis sama.
Jadi untuk ∫0π/2 sin n x dx dan ∫0π/2 cos n x dx kita akan memperoleh :
In = (n-1)/n. In-2
Selain itu :
(a) Jika n genap, maka pad akhirnya rumus akan tereduksi menjadi I0
Yaitu ∫0π/2 1 dx = [x] 0π/2 = - (- 1) = I1 = 1
Sekarang, hitunglah ∫0π/2 sin 5 x dx
I5 = (4/5).(2/3).1 = 8/15
Karena
I5 = (4/5). I3
I3 = (2/3). I1 dan I1 = 1
I5 = (4/5).(2/3).1 = 8/15
Dengan cara yang sama, hitunglah ∫0π/2 cos 6 x dx
I6 = (5π/32)
I6 = (5/6). I4
I4 = (3/2). I2
I2 = (1/2). I0 dan I0 = ( π/2)
I6 = (5/6).(3/2). ( π/2) = (5π/32)
Catatan!!!
Semua bilangan asli dari n sampai 1 muncul secara bergantian di bawah dan atas dari pernyataantersebut. Sebenarnya, jika kita mulai menuliskan bilangan – bilangan ini dengan nilai n ditempatkan pada bagian bawah, kita akan memperoleh hasilnya tanpa bersusah payah.
(n-1)/n . (n-3)/(n-2) . (n-5)/(n-4). . . /. . .dst.
Jika n ganjil,faktor-faktornya akan berakhir dengan 1 di bawah
Sebagai contoh (6.4.2)/(7.5.3.1) dan itu adalah hasilnya.
Jika n genap, faktor 1 muncul di atas dan kemudian kita kalikan dengan faktor π/2.
Sebagai contoh (7.5.3.1. π ) / (8.6.4.2.2)
Jadi,
(a) ∫0π/2 sin 4 x dx =. . . . . . . . . .
(b) ∫0π/2 cos 5 x dx =. . . . . . . . . .
∫0π/2 sin 4 x dx = (3π/16), ∫0π/2 cos 5 x dx = 8/15
Rumus tersebut dikenal dengan sebuta rumus wallis.
16
8/105
Tentukan ∫0π/2 sin 5 x. cos 2 x dx = ∫0π/2 sin 5 x(1- sin 2 x) dx
= ∫0π/2 ( sin 5 x - sin 7 x) dx
= I5 - I7
= . . . . . . . . .
I5 = (4/5).(2/3).1 = 8/15
I7 = (6.4.2/7.5.3.1) = 16/35
= I5 - I7
= 8/15 - 16/35
= 8/105
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS LAMPUNG
2009/2010
Rumus - rumus reduksi
Hasil pembelajaran:
Menerapkan integrasi per bagian dan membuat rumus reduksi
Menerapkan integrasi per bagian dengan menggunakan rumus reduksi
Menghitung integral-integral yang integrannya berbentuk sin ⁿ x dan cos ⁿ x dengan menggunakan rumus-rumus reduksi
1
Anda akan memakai integrasi per bagian ( integration by part ),sebagai berikut:
∫ u dv = u v - ∫ v du
2
Selesaikan soal di bawah ini :
∫ x ² e x dx =.....
∫ x² e ͯ dx = e ͯ [ x - 2x + 2 ] + C
Berikut ini adalah pengerjaannya.
∫ x ² e ͯ dx = x² ( e ͯ ) - 2 ∫ e ͯ x dx
= x² e ͯ - 2 [ x ( e ͯ ) - ∫ e ͯ dx ]
= x² e ͯ - 2 x e ͯ + 2 e ͯ + C
= e ͯ [x² - 2 x + 2] + C
3
Selesaikan soal di bawah ini :
∫ x ⁿ e ͯ dx =
I ⁿ = x ⁿ e ͯ - n I ⁿ -1
∫ x ⁿ e ͯ dx = x ⁿ ( e ͯ ) – n ∫ e ͯ x ⁿ -1 dx
= x ⁿ e ͯ – n ∫ e ͯ x ⁿ -1 dx
Jika kita tulis ∫ x ⁿ e ͯ dx sebagai I ⁿ
Maka kita dapat menyatakan ∫ e ͯ x ⁿ -1 dx sebaagai I ⁿ -1
Jika I ⁿ = ∫ x ⁿ e ͯ dx
Maka, I ⁿ= x ⁿ e ͯ - n I ⁿ -1
4
Tinjaulah ∫ x 2 e ͯ dx
= e ͯ [x 2 - 2x + 2 ] + C
Misalkan Iⁿ = ∫ x ⁿ e ͯ dx n = 2
Dimana Iⁿ = x ⁿ e ͯ - n.I ⁿ -1
Kita substitusikan integral tersebut,maka :
I ₂ = x² e ͯ - 2. I 1 dan
I ¹ = x² e ͯ - 1. I0
Jadi , I 0 = ∫ x 0 e ͯ dx + 1 e ͯ dx = ∫ e ͯ dx = e ͯ + C
Jadi I ₂ = x² e ͯ - 2. I 1
Dan I ¹ = xe ͯ - e ͯ + C 1
I ₂ = x² e ͯ - 2 x e ͯ + 2 e ͯ + C
= e ͯ [x² - 2 x+ 2 ]
5
The formula for succes is simp le: practice and concentration
then more practice and more concentration. (Rumus keberhasilan
adalah simpel, yaitu praktik dan konsentrasi kemudian
meningkatkan praktik dan meningkatkan konsentrasi).
Tentukanlah ∫ x 3 e ͯ dx
= e ͯ [ x 3 - 3x2 +6x -6 ]
Iⁿ = x ⁿ e ͯ - n.I ⁿ -1
n = 3 I 3 = x3 e ͯ - 3. I 2
n = 2 I 2 = x2 e ͯ - 2. I 1
n = 1 I 1 = x e ͯ - 1. I 0
dan I 0 = ∫ x 0 e ͯ dx = ∫ e ͯ dx = e ͯ + C
I 3 = x3 e ͯ - 3. I 2
= x3 e ͯ - 3[ x2 e ͯ + 2. I 1]
= x3 e ͯ - 3[ x2 e ͯ - 2 (x e ͯ -1. I 0 )]
= x3 e ͯ - 3[ x2 e ͯ - 2 (x e ͯ - [e ͯ + C1] )]
= x3 e ͯ - 3x2e ͯ + 6 xeͯ - 6 eͯ - 6 C1
= e ͯ [x3 - 3x2 + 6 x - 6 ] + C
6
Sekarang marilah mencoba untuk mencari rumus reduksi dari integral berikut ∫ xn cos x dx
I n = xn sin x + n x n-1 cos– n ( n x - 1 ) ∫ x n-2 cos x dx
I n = ∫ xn cos x dx
= xn ( sin x ) - n ∫ sin x xn-1 dx
= xn sin x - n ∫ xn-1 sin x dx
Integral tersebut belum merupakan rumus reduksi. Sehingga kita terapkan integral per bagian
I n = xn sin x - n ∫ xn-1 sin x dx
= xn sin x - n . . . . . . . . .
I n = xn sin x + n x n-1 cos x – n ( n - 1 ) ∫ x n-2 cos x dx
Sekarang Anda akan melihat bahwa integral ∫ x n-2 cos x dx sama dengan integral ∫ xn cos x dx, namun dengan n diganti oleh . . . . . . .
n - 2
artinya I n = xn sin x + n x n-1 cos x – n ( n - 1 ). I n – 2
7
Tentukanlah ∫ x2 cos x dx
I 2 = x2 sin x + 2x cos x – 2.1 I0
Substitusikan n = 2
Sekarang I0 = ∫ x0 cos x dx = ∫ cos x dx = sin x + C1
Sehingga I2 = x2 sin x + 2x cos x – 2 sin x + C
8
Tentukanlah rumus reduksi untuk ∫ xn sin x dx
In = - xn cos x + nx sin x – n ( n – 1 ) In -2
Gunakanlah metode intgrasi- per- bagian :
In = ∫ xn sin x dx
= xn ( cos x ) + n ∫ cos x xn-1 dx
= - xn cos x + n { xn-1 ( sin x ) – ( n – 1 ) ∫ sin x xn-2 dx }
= - xn cos x + nxn-1 sin x – n( n – 1 ) In -2
9
I1 = - x cos x + sin x +C1
Carilah intgral dari ∫ x3 sin x dx
Dengan mensubstitusikan n = 3, I3 = - x3 cos x + 3x2 sin x – 3.2 I1
Dan kemudian I1 = ∫ x sin x dx
= . . . . . . . . . . .
Sehingga, I3 = - x3 cos x + 3x2 sin x – 6 I1
I3 = - x3 cos x + 3x2 sin x + 6 x cos x - 6 sin x + C
10
Tentukanlah ∫0π xn cos x dx
Jika I n = ∫ xn cos x dx,maka
I n = xn sin x + n x n-1 cos x – n ( n - 1 ) In -2
Jika kita sekarang menyatakan I n = ∫0π xn cos x dx, maka kita harus memasukkan batas – batasnya ke dalam hasil di ruas kanan :
I n = [ xn sin x + n x n-1 cos x]0π
I n = [ 0 + n π n - 1 ( -1 )]-[ 0 + 0 – n ( n - 1) In -2
I n = - n π n – 1 – n ( n - 1) In -2
11
Carilah integral I n = ∫0π x4 cos x dx, dengan mensubstitusikan n = 4, maka
I 4 = - 4π 3 – 4.3 I2
Dan substitusikan n = 2 untuk mencari I 2 , yaitu I 2
I 2 = - 2π – 2.1 I0
Dan I 0 = ∫0π x0 cos x dx = ∫0π cos x dx = [ sin x ] 0π = 0
Sehingga kita peroleh I 4 = - 4π 3 – 12 I2
I 2 = - 2π – 2 I0
∫0π x4 cos x dx = I 4 = - 4π 3 + 24 π
12
Hitunglah ∫0π x5 cos x dx
I 5 = - 5π 4 + 60 π2 – 240
Sehingga :
I n = - n π n – 1 – n ( n - 1) In -2
I 5 = - 5π 4 – 5.4 I3
I 3 = - 3π 2 – 3.2 I1
Dan I 1 = ∫0π x cos x dx [ (x sin x) ] 0π - ∫0π sin x dx
= [0 - 0] – [ - cos x ] 0x = [ cos x ] 0x = ( -1 ) – ( 1) = -2
I 5 = - 5π 4 – 5.4 I3
I 3 = - 3π 2 – 3.2 I1
I 5 = - 5π 4 + 60π 2 - 240
Rumus – rumus reduksi untuk (a) ∫ sinn x dx dan (b) ∫ cosn x dx
(a) ∫ sinn x dx
Misalkan I n = ∫ sinn x dx = ∫ sinn-1 x. sin x dx = ∫ sinn-1 x. d(- cos x) dx maka, integral per – bagian akan menghasilkan :
I n = sinn-1 x.(- cos x) + ( n – 1 ) ∫ cos x.sin n-2 x . cos x dx
= - sinn-1 x. cos x + ( n – 1 ) ∫ cos 2 x.sin n-2 x dx
= - sinn-1 x. cos x + ( n – 1 ) ∫ ( 1 - sin 2 x ).sin n-2 x dx
= - sinn-1 x. cos x + ( n – 1 ) { ∫ sin n-2 x dx - ∫ sin n x dx }
= - sinn-1 x. cos x + ( n – 1 ) I n-2 - ( n – 1 ) I n
Pindahkan suku di ruas kanan ke ruas kiri, maka kita akan memperoleh :
n. I n= - sinn-1 x. cos x + ( n – 1 )I n-2
dan akhirnya, jika I n = ∫ sinn x dx, maka I n = - (1/n) sinn-1 x cos x + (n-1)/n. I n-2
13
Tentukanlah ∫ sin6 x dx
I6 = - (1/6) sin5 x. cos x - (5/24) sin3 x. cos x –(5/16) sin x. cos x + (5x/16) + C
I6 = - (1/6) sin5 x. cos x + (5/6).I4
I4 = - (1/4) sin3 x. cos x + (3/4).I2
I2 = - (1/2) sin x. cos x + (1/2).I0 I0 = ∫ dx = x + C0
I6 = - (1/6) sin5 x. cos x + (5/6) [-(1/4) sin3 x. cos x + (3/4) .I2 ]
= - (1/6) sin5 x. cos x - (5/24) sin3 x. cos x + (5/8) [ - (1/2) sin x. cos x + x/2 ] + C
= - (1/6) sin5 x. cos x - (5/24) sin3 x. cos x - (5/16) sin x. cos x + (5x/16) + C
14
(b) ∫ cosn x dx
In = ∫ cosn x dx = cos n -1 x. cos x dx = cosn-1 x d (sin x)
= ∫ cosn-1 x.sin x - ( n - 1) ∫ sin x. cos n-2 x.(- sin x ) dx
= cosn-1 x. sin x - ( n - 1) ∫ sin x. cos n-2 x.(- sin x ) dx
= cosn-1 x. sin x + ( n - 1) ∫ sin 2 x. cos n-2 x. dx
= cosn-1 x. sin x + ( n - 1) ∫ ( 1 - cos2x ). cos n-2 x dx
= cosn-1 x. sin x + ( n - 1) { ∫ cosn-2 x - ∫ cos n x dx},sehingga
In = (1/n) cos n-1 x.sin x + (n-1)/n. In-2
15
Carilah integral dari ∫ cos5 x dx
∫ cos5 x dx = (1/5) cos 4 x.sin x +(4/15) cos 2 x.sin x +(8/15) sin x + C
Inilah penyelesaiannya :
I5 = (1/5) cos 4 x.sin x + (4/5)I3
I3 = (1/3) cos 2 x.sin x + (2/3)I1 dan
I1 = ∫cos x dx = sin x + C1
I5 = (1/5) cos 4 x.sin x + (4/5) [ (1/3) cos 2 x.sin x + (2/3) sin x ] + C
= (1/5) cos 4 x.sin x + (4/15) cos 2 x.sin x + (8/15) sin x + C
Integral ∫ sin x dx dan integral ∫ cosn x dx dengan batas – batas x = 0 dan x = π/2,
Kita sudah mengetahui rumus reduksi :
∫ sin x dx = In = - (1/n) sinn-1 x. cos x + (n-1)/n. In-2
Dengan memasukkan bats-batasnya :
In = [- (1/n) sinn-1 x. cos x ] 0π/2 + (n-1)/n. In-2
= [0 - 0] + (n-1)/n. In-2
In = (n-1)/n. In-2
Dan jika Anda melakukan proses yang sama dengan rumus reduksi untuk ∫ cosn x dx.
Anda akan mendapat hasil yang persis sama.
Jadi untuk ∫0π/2 sin n x dx dan ∫0π/2 cos n x dx kita akan memperoleh :
In = (n-1)/n. In-2
Selain itu :
(a) Jika n genap, maka pad akhirnya rumus akan tereduksi menjadi I0
Yaitu ∫0π/2 1 dx = [x] 0π/2 = - (- 1) = I1 = 1
Sekarang, hitunglah ∫0π/2 sin 5 x dx
I5 = (4/5).(2/3).1 = 8/15
Karena
I5 = (4/5). I3
I3 = (2/3). I1 dan I1 = 1
I5 = (4/5).(2/3).1 = 8/15
Dengan cara yang sama, hitunglah ∫0π/2 cos 6 x dx
I6 = (5π/32)
I6 = (5/6). I4
I4 = (3/2). I2
I2 = (1/2). I0 dan I0 = ( π/2)
I6 = (5/6).(3/2). ( π/2) = (5π/32)
Catatan!!!
Semua bilangan asli dari n sampai 1 muncul secara bergantian di bawah dan atas dari pernyataantersebut. Sebenarnya, jika kita mulai menuliskan bilangan – bilangan ini dengan nilai n ditempatkan pada bagian bawah, kita akan memperoleh hasilnya tanpa bersusah payah.
(n-1)/n . (n-3)/(n-2) . (n-5)/(n-4). . . /. . .dst.
Jika n ganjil,faktor-faktornya akan berakhir dengan 1 di bawah
Sebagai contoh (6.4.2)/(7.5.3.1) dan itu adalah hasilnya.
Jika n genap, faktor 1 muncul di atas dan kemudian kita kalikan dengan faktor π/2.
Sebagai contoh (7.5.3.1. π ) / (8.6.4.2.2)
Jadi,
(a) ∫0π/2 sin 4 x dx =. . . . . . . . . .
(b) ∫0π/2 cos 5 x dx =. . . . . . . . . .
∫0π/2 sin 4 x dx = (3π/16), ∫0π/2 cos 5 x dx = 8/15
Rumus tersebut dikenal dengan sebuta rumus wallis.
16
8/105
Tentukan ∫0π/2 sin 5 x. cos 2 x dx = ∫0π/2 sin 5 x(1- sin 2 x) dx
= ∫0π/2 ( sin 5 x - sin 7 x) dx
= I5 - I7
= . . . . . . . . .
I5 = (4/5).(2/3).1 = 8/15
I7 = (6.4.2/7.5.3.1) = 16/35
= I5 - I7
= 8/15 - 16/35
= 8/105
