MENCOBA MENEMUKAN DAN MENGGUNAKAN RUMUS UNTUK
MEMECAHKAN PERKALIAN DENGAN SEMBILAN
ABD. ROKHIM
NIP 131894497
Guru SDN Lajuk Kec. Gondangwetan
Kabupaten Pasuruan
Jawa Timur
I. PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Orang yang pandai di bidang matematika belum tentu dapat mengajarkan matematika dengan berhasil. Kesalahan teknis dalam penyampaiannya yang pertama (kepada anak didik) dapat berakibat fatal, seperti anggapan orang bahwa matematika merupakan hantu yang ditakuti dalam pelajaran. Sehingga tidak jarang siswa absen untuk menghindari pelajaran yang ditakuti tersebut. Apabila cara guru mengajar yang kurang demokratis, apa yang disampaikannya merupakan harga mati yang tak dapat ditawar-tawar lagi. Ini bisa berkesan bahwa matematika itu sulit dan kurang menyenangkan.
Sebenarnya cara pemecahan soal dalam matematika ada bermacam-macam. Dan siswa hendaknya diberi kesempatan untuk memilih cara yang termudah menurut anggapan mereka. Kecuali ada tujuan tertentu dari guru yang mengajarkan pelajaran tersebut.
Ingat apa yang pernah ditulis oleh PPIA (Perhimpunan Persahabatan Indonesia-Amerika) dalam “MONTHLY CALENDAR” (1993 – 1994) bahwa pendidikan hakekatnya adalah pencerdasan. Tetapi ia berubah menjadi pembodohan manakala pendidikan telah terjebak pada kecenderungan mempola, mencetak siswa sekedar pelaksana gagasan sang guru. Akankah lahir kreativitas karena kesempatan buat pengungkapan diri telah terampas ? Ini relevan pula dengan apa yang pernah ditulis oleh Drs. Achmad Sapari (pada contoh topik) bahwa kebiasaan guru bersikap otoriter terhadap anak dengan dalih menegakkan disiplin membawa dampak negatif terhadap kreativitas anak (Achmad Sapari, 1990 : 29).
B. Lingkup Pembahasan
Salah satu konsep perkalian yang pernah ditanamkan oleh bapak / ibu guru kepada kita adalah konsep penjumlahan berulang, misalnya 3 x 5 = 5 + 5 + 5 atau 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15. Selanjutnya kita disuruh menghafal perkalian tersebut di luar kepala. Sehingga manfaat dari ‘hafal perkalian’ tadi dapat dirasakan hasilnya kalau kita sudah sampai pada bab pembagian, kelipatan, dan faktor. Sebab untuk mempelajari kelipatan dan faktor, kita harus betul-betul menguasai perkalian dan pembagian, sedangkan perkalian itu sendiri berdasarkan penjumlahan tersebut yang sudah hafal (tanpa harus menjumlahkan secara berulang).
Dengan tak bermaksud mengesampingkan dasar-dasar perkalian tersebut, tulisan ini mencoba menyajikan alternatif lain dalam menyelesaikan suatu perkalian. Dengan harapan bisa memberikan kesan kepada anak didik bahwa matematika itu mudah dan menyenangkan. Perkalian yang dimaksud adalah terbatas pada perkalian dengan sembilan, yaitu suatu perkalian yang salah satu faktornya adalah bilangan sembilan.
II. PERKALIAN DENGAN SEMBILAN
Secara hirarkhis, perkalian dengan sembilan ini kami urutkan cara pemecahannya sebagai berikut :
a. menggunakan jari-jari tangan
b. berpedoman pada bilangan pengali sebagai jawaban
c. menggunakan rumus.
A. Perkalian Bilangan Sembilan dengan Menggunakan Jari
Sebagai batu loncatan dalam menemukan pedoman atau rumus perkalian dengan sembilan, kita dapat menggunakan jari-jari tangan sebagaimana telah kita ketahui bersama. Namun terdapat kelemahan pada perkalian dengan menggunakan jari tersebut karena tidak dapat mengalikan bilangan di atas sepuluh. Tetapi bagi siswa yang tidak atau belum mampu menghadapi perkalian, nampaknya cara ini masih cukup bermanfaat.
Caranya :
1. Kedua telapak tangan menghadap kepada kita.
2. Mulai jari paling kiri kita beri nomor urut dari no. 1 sampai dengan no. 10 pada jari paling kanan.
3. Dalam hal 9 x n, maka n adalah bilangan yang terdapat pada nomor jari tersebut dan jari nomor pengganti n itu harus dilipat. Misalnya :
a). 9 x 4 = …., jari nomor 4 dilipat dan menghasilkan 3 jari di sebelah kiri
lipatan (sebagai puluhan) dan 6 jari di sebelah kanan lipatan (sebagai satuan).
Jadi 9 x 4 = 36
9
10
9 x 4 = 36
b). 9 x 8 = …., jari nomor 8 dilipat, menghasilkan 7 & 2 yang dibatasi oleh
jari nomor 8 yang dilipat. Jadi 9 x 8 = 72
9 x 8 = 72
Dengan cara yang pertama ini siswa yang belum mampu menghitung hasil perkalian tersebut tidak akan merasa dibebani tugas yang memberatkan.
B. Perkalian Bilangan Sembilan Berpedoman pada Pengali (Bilangan yang Mengalikan).
Bertolak dari perkalian dengan menggunakan jari tangan tersebut di atas, kita telah melihat bahwa setiap dilakukan perkalian selalu terdapat sembilan jari yang tidak terlipat. Sehingga melahirkan kesimpulan bahwa 9 x n menghasilkan angka-angka berjumlah sembilan, dengan catatan n adalah bilangan 1 s.d 10.
Kita perhatikan perkalian (dengan sembilan) berikut :
9 x 3 = 27 ============> 2 dan 7 berjumlah 9
9 x 5 = 45 ============> 4 dan 5 berjumlah 9
9 x 8 = 72 ============> 7 dan 2 berjumlah 9
9 x 7 = 63 ============> 6 dan 3 berjumlah 9
Tentu tidak sembarang bilangan yang berjumlah sembilan dapat dipasangkan dengan tepat sebagai jawaban pada perkalian tersebut. Kita harus menggunakan pedoman tersendiri untuk menemukan pasangan sebagai jawabannya. Sebagai pedoman (jawaban) adalah angka puluhannya selalu selisih satu lebih kecil daripada bilangan pengalinya (puluhan sama dengan pengali dikurangi satu).
Di bawah ini kita perhatikan hubungan antara bilangan pengali dengan angka puluhan pada hasil jawabannya.
pengali puluhan satuan
9 x 4 = 3 .
9 x 6 = 5 .
9 x 7 = 6 .
9 x 8 = 7 .
Setelah menemukan angka puluhan pada jawabannya, kita dengan mudah dapat menentukan angka satuannya sehingga kedua angka (puluhan dan satuan) tersebut berjumlah sembilan. Sehingga perkalian di atas menjadi :
9
pengali puluhan satuan +
9 x 4 = 3 6 ingat 3 6
9 x 6 = 5 4 5 4
9 x 7 = 6 3 6 3
9 x 8 = 7 2 7 2
Demikian cara menggunakan pedoman pada bilangan pengalinya.
Kedua cara perkalian seperti telah diuraikan di atas (sub A dan sub B) akan mudah diterapkan pada siswa SD sebagai permainan dan bukan sebagai hantu. Tentu mereka dengan senang mencoba-coba sendiri dengan bimbingan guru.
C. Perkalian Bilangan Sembilan dengan Menggunakan Rumus
Pembahasan perkalian dengan menggunakan rumus ini kita bagi menjadi dua, yaitu :
1. Perkalian bilangan sembilan dengan bilangan 1 s.d 10
2. Perkalian bilangan sembilan dengan bilangan di atas 10
1.Rumus Perkalian Bilangan Sembilan dengan Bilangan 1 s.d 10
Kesimpulan dan pedoman pada uraian sebelumnya telah menghasilkan dua asumsi dasar yang dapat digunakan untuk menemukan suatu rumus. Kedua asumsi tersebut adalah :
asumsi pertama : 9 x n menghasilkan angka-angka (puluhan dan satuan) yang berjumlah
sembilan
asumsi kedua : pada jawaban, angka puluhan adalah selisih satu lebih kecil daripada
angka pengali (puluhan sama dengan pengali dikurangi satu).
Kedua asumsi tersebut merupakan kesatuan yang tak bisa dipisahkan, dalam arti asumsi kedua merupakan penjelas / pelengkap asumsi pertama.
Langkah-langkah ke arah penemuan rumus :
Dari asumsi pertama, jika perkalian tersebut menghasilkan a puluhan dan b satuan, maka bisa dirumuskan sementara menjadi 9 x n = a & b. Selanjutnya, karena a dan b berjumlah sembilan atau a + b = 9, maka b bisa diganti dengan 9 - a.
Sehingga rumus sementara tadi bisa berubah
dari 9 x n = a & b
menjadi 9 x n = a & 9 - a.
Ini juga masih sementara karena terdapat dua variabel yang berbeda (yaitu n dan a), dan kedua variabel itu dapat dihilangkan salah satu dengan berpedoman pada asumsi kedua, yaitu (hasil) puluhan adalah sama dengan pengali dikurangi satu. Karena dalam hal ini puluhannya adalah a, maka a tersebut bisa diganti dengan n – 1. Selanjutnya rumus sementara tadi dapat berubah
dari 9 x n = a & 9 - a
menjadi 9 x n = (n –1) & 9 - (n -1).
Di tempat satuan pada rumus tersebut terdapat jawaban 9 - (n - 1) yang masih mungkin untuk disederhanakan dengan hukum distributif yaitu 9 – (n – 1) = 9 – n + 1 = 10 – n.
Setelah tempat satuan diganti 10 – n, maka rumus tersebut bisa ditetapkan
dari 9 x n = (n - 1) & 9 - (n – 1)
menjadi 9 x n = (n - 1) & (10 - n)
Dengan catatan : (n - 1) adalah puluhan dan (10 – n) adalah satuan.
Rumus ini hanya berlaku untuk 9 x n, dan n = bilangan 1 s.d 10. Sedangkan untuk n
bilangan di atas sepuluh ada rumus tersendiri pada uraian selanjutnya.
Contoh penerapan rumus tersebut :
9 x n = (n - 1) & (10 - n)
Jika n = 8 9 x 8 = (8 - 1) & (10 - 8)
= 7 & 2
= 72
Jika n = 6 9 x 6 = (6 - 1) & (10 - 6)
= 5 & 4
= 54
Jika n = 5 9 x 5 = (5 - 1) & (10 - 5)
= 4 & 5
= 45
Catatan :
1. Tanda ‘&’ pada rumus jawaban tidak usah dihilangkan dan tetap
(n - 1) & (10 – n), untuk menghindari salah faham. Jika dihilangkan
menjadi (n – 1) (10 – n), berarti (n – 1) x (10 – n).
2. Rumus tersebut bukanlah harga mati, melainkan masih bisa dirubah sesuai
dengan selera masing-masing.
3. Rumus tersebut kita beri nama Rumus I untuk membedakan dengan rumus-
rumus selanjutnya, yaitu untuk perkalian 9 x n, dan n bilangan di atas 10.
2. Rumus Perkalian Bilangan Sembilan dengan Bilangan di atas Sepuluh
Dalam perkalian 9 x n dan n adalah bilangan di atas 10, kita tetap menggunakan istilah puluhan dan satuan sebagai jawaban walaupun kenyataan jawabannya adalah bilangan yang lebih besar dari 100. Misalnya 9 x 63 = 567, maka jawaban tersebut terdiri dari 56 puluhan dan 7 satuan (untuk mempermudah menentukan rumusnya).
a). Untuk n = bilangan 11 s.d 20
Rumus II : 9 x n = puluhan & satuan
9 x n = (n - 2) & (20 - n)
Puluhan dan satuan berjumlah 18
Contoh penerapan Rumus II :
9 x n = (n - 2) & (20 - n)
n = 13 9 x 13 = (13 - 2) & (20 - 13)
= 11 & 7
= 117
n = 18 9 x 18 = (18 - 2) & (20 - 18)
= 16 & 2
= 162
b). Untuk n = bilangan 21 s.d 30
Rumus III : 9 x n = (n - 3) & (30 - n)
Puluhan dan satuan berjumlah 27
Contoh penerapan Rumus III :
9 x n = (n - 3) & (30 - n)
n = 23 9 x 23 = (23 - 3) & (30 - 23)
= 20 & 7
= 207
n = 28 9 x 28 = (28 - 3) & (30 - 28)
= 25 & 2
= 252
c). Untuk n = bilangan 31 s.d 40
Rumus IV : 9 x n = (n - 4) & (40 - n)
Puluhan dan satuan berjumlah 36
Contoh penerapan Rumus IV :
9 x n = (n - 4) & (40 - n)
n = 32 9 x 32 = (32 - 4) & (40 - 32)
= 28 & 8
= 288
n = 38 9 x 38 = (38 - 4) & (40 - 38)
= 34 & 2
= 342
d). Rumus Selanjutnya
Atas dasar beberapa rumus tersebut di atas, kita bisa mengembangkan sendiri rumus-rumus selanjutnya sampai dengan 9 x 100. Untuk perkalian di atas 100 perlu diteliti dulu sebelum menentukan rumus-rumusnya.
Untuk memudahkan kita menentukan rumus selanjutnya, bisa berpedoman pada tabel di bawah ini.
T A B E L R U M U S
NAMA
RUMUS Bilangan
n
Terkecil Terbesar R U M U S
H a s i l
Perkalian
Puluhan Satuan Jumlah
Puluhan &
Satuan
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
I 1 10 9 x n n - 1 10 - n 9
II 11 20 9 x n n - 2 20 - n 18
III 21 30 9 x n n - 3 30 - n 27
IV 31 40 9 x n n - 4 40 - n 36
V 41 50 9 x n …. …. ….
…. …. 9 x n ….. …. ….
Tanpa banyak komentar, tentu kita sebagai pembaca dapat membuat penalaran sendiri untuk menyimpulkan dan meneruskan tabel di atas. Kita perhatikan hubungan angka-angka pada lajur 3 dengan lajur 6. Demikian juga lajur 5 dengan lajur 6.
III. P E N U T U P
A. KESIMPULAN
1. Pada ilmu tertentu, suatu teori dapat dibangun atas dasar teori-teori yang telah ada sebelumnya. Dan ada kemungkinan teori tersebut dapat dijadikan dasar untuk membentuk teori selanjutnya (seperti penemuan rumus pada uraian di atas).
2. Perkalian suatu bilangan dapat dikerjakan dengan berbagai cara, tetapi dapat menghasilkan jawaban yang sama.
3. Menggunakan rumus dapat menghambat penyelesaian perkalian dengan bilangan kecil tetapi sangat membantu pada perkalian dengan bilangan besar.
B. SARAN
Untuk mengembangkan daya berfikir, sebaiknya para siswa tidak selalu diharuskan berpedoman pada suatu rumus, selama persoalan dapat difikirkan secara logis. Kecuali ada tujuan tertentu dari guru yang mengajarkan pelajaran tersebut.
ooooOOOoooo
MEMECAHKAN PERKALIAN DENGAN SEMBILAN
ABD. ROKHIM
NIP 131894497
Guru SDN Lajuk Kec. Gondangwetan
Kabupaten Pasuruan
Jawa Timur
I. PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Orang yang pandai di bidang matematika belum tentu dapat mengajarkan matematika dengan berhasil. Kesalahan teknis dalam penyampaiannya yang pertama (kepada anak didik) dapat berakibat fatal, seperti anggapan orang bahwa matematika merupakan hantu yang ditakuti dalam pelajaran. Sehingga tidak jarang siswa absen untuk menghindari pelajaran yang ditakuti tersebut. Apabila cara guru mengajar yang kurang demokratis, apa yang disampaikannya merupakan harga mati yang tak dapat ditawar-tawar lagi. Ini bisa berkesan bahwa matematika itu sulit dan kurang menyenangkan.
Sebenarnya cara pemecahan soal dalam matematika ada bermacam-macam. Dan siswa hendaknya diberi kesempatan untuk memilih cara yang termudah menurut anggapan mereka. Kecuali ada tujuan tertentu dari guru yang mengajarkan pelajaran tersebut.
Ingat apa yang pernah ditulis oleh PPIA (Perhimpunan Persahabatan Indonesia-Amerika) dalam “MONTHLY CALENDAR” (1993 – 1994) bahwa pendidikan hakekatnya adalah pencerdasan. Tetapi ia berubah menjadi pembodohan manakala pendidikan telah terjebak pada kecenderungan mempola, mencetak siswa sekedar pelaksana gagasan sang guru. Akankah lahir kreativitas karena kesempatan buat pengungkapan diri telah terampas ? Ini relevan pula dengan apa yang pernah ditulis oleh Drs. Achmad Sapari (pada contoh topik) bahwa kebiasaan guru bersikap otoriter terhadap anak dengan dalih menegakkan disiplin membawa dampak negatif terhadap kreativitas anak (Achmad Sapari, 1990 : 29).
B. Lingkup Pembahasan
Salah satu konsep perkalian yang pernah ditanamkan oleh bapak / ibu guru kepada kita adalah konsep penjumlahan berulang, misalnya 3 x 5 = 5 + 5 + 5 atau 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15. Selanjutnya kita disuruh menghafal perkalian tersebut di luar kepala. Sehingga manfaat dari ‘hafal perkalian’ tadi dapat dirasakan hasilnya kalau kita sudah sampai pada bab pembagian, kelipatan, dan faktor. Sebab untuk mempelajari kelipatan dan faktor, kita harus betul-betul menguasai perkalian dan pembagian, sedangkan perkalian itu sendiri berdasarkan penjumlahan tersebut yang sudah hafal (tanpa harus menjumlahkan secara berulang).
Dengan tak bermaksud mengesampingkan dasar-dasar perkalian tersebut, tulisan ini mencoba menyajikan alternatif lain dalam menyelesaikan suatu perkalian. Dengan harapan bisa memberikan kesan kepada anak didik bahwa matematika itu mudah dan menyenangkan. Perkalian yang dimaksud adalah terbatas pada perkalian dengan sembilan, yaitu suatu perkalian yang salah satu faktornya adalah bilangan sembilan.
II. PERKALIAN DENGAN SEMBILAN
Secara hirarkhis, perkalian dengan sembilan ini kami urutkan cara pemecahannya sebagai berikut :
a. menggunakan jari-jari tangan
b. berpedoman pada bilangan pengali sebagai jawaban
c. menggunakan rumus.
A. Perkalian Bilangan Sembilan dengan Menggunakan Jari
Sebagai batu loncatan dalam menemukan pedoman atau rumus perkalian dengan sembilan, kita dapat menggunakan jari-jari tangan sebagaimana telah kita ketahui bersama. Namun terdapat kelemahan pada perkalian dengan menggunakan jari tersebut karena tidak dapat mengalikan bilangan di atas sepuluh. Tetapi bagi siswa yang tidak atau belum mampu menghadapi perkalian, nampaknya cara ini masih cukup bermanfaat.
Caranya :
1. Kedua telapak tangan menghadap kepada kita.
2. Mulai jari paling kiri kita beri nomor urut dari no. 1 sampai dengan no. 10 pada jari paling kanan.
3. Dalam hal 9 x n, maka n adalah bilangan yang terdapat pada nomor jari tersebut dan jari nomor pengganti n itu harus dilipat. Misalnya :
a). 9 x 4 = …., jari nomor 4 dilipat dan menghasilkan 3 jari di sebelah kiri
lipatan (sebagai puluhan) dan 6 jari di sebelah kanan lipatan (sebagai satuan).
Jadi 9 x 4 = 36
9
10
9 x 4 = 36
b). 9 x 8 = …., jari nomor 8 dilipat, menghasilkan 7 & 2 yang dibatasi oleh
jari nomor 8 yang dilipat. Jadi 9 x 8 = 72
9 x 8 = 72
Dengan cara yang pertama ini siswa yang belum mampu menghitung hasil perkalian tersebut tidak akan merasa dibebani tugas yang memberatkan.
B. Perkalian Bilangan Sembilan Berpedoman pada Pengali (Bilangan yang Mengalikan).
Bertolak dari perkalian dengan menggunakan jari tangan tersebut di atas, kita telah melihat bahwa setiap dilakukan perkalian selalu terdapat sembilan jari yang tidak terlipat. Sehingga melahirkan kesimpulan bahwa 9 x n menghasilkan angka-angka berjumlah sembilan, dengan catatan n adalah bilangan 1 s.d 10.
Kita perhatikan perkalian (dengan sembilan) berikut :
9 x 3 = 27 ============> 2 dan 7 berjumlah 9
9 x 5 = 45 ============> 4 dan 5 berjumlah 9
9 x 8 = 72 ============> 7 dan 2 berjumlah 9
9 x 7 = 63 ============> 6 dan 3 berjumlah 9
Tentu tidak sembarang bilangan yang berjumlah sembilan dapat dipasangkan dengan tepat sebagai jawaban pada perkalian tersebut. Kita harus menggunakan pedoman tersendiri untuk menemukan pasangan sebagai jawabannya. Sebagai pedoman (jawaban) adalah angka puluhannya selalu selisih satu lebih kecil daripada bilangan pengalinya (puluhan sama dengan pengali dikurangi satu).
Di bawah ini kita perhatikan hubungan antara bilangan pengali dengan angka puluhan pada hasil jawabannya.
pengali puluhan satuan
9 x 4 = 3 .
9 x 6 = 5 .
9 x 7 = 6 .
9 x 8 = 7 .
Setelah menemukan angka puluhan pada jawabannya, kita dengan mudah dapat menentukan angka satuannya sehingga kedua angka (puluhan dan satuan) tersebut berjumlah sembilan. Sehingga perkalian di atas menjadi :
9
pengali puluhan satuan +
9 x 4 = 3 6 ingat 3 6
9 x 6 = 5 4 5 4
9 x 7 = 6 3 6 3
9 x 8 = 7 2 7 2
Demikian cara menggunakan pedoman pada bilangan pengalinya.
Kedua cara perkalian seperti telah diuraikan di atas (sub A dan sub B) akan mudah diterapkan pada siswa SD sebagai permainan dan bukan sebagai hantu. Tentu mereka dengan senang mencoba-coba sendiri dengan bimbingan guru.
C. Perkalian Bilangan Sembilan dengan Menggunakan Rumus
Pembahasan perkalian dengan menggunakan rumus ini kita bagi menjadi dua, yaitu :
1. Perkalian bilangan sembilan dengan bilangan 1 s.d 10
2. Perkalian bilangan sembilan dengan bilangan di atas 10
1.Rumus Perkalian Bilangan Sembilan dengan Bilangan 1 s.d 10
Kesimpulan dan pedoman pada uraian sebelumnya telah menghasilkan dua asumsi dasar yang dapat digunakan untuk menemukan suatu rumus. Kedua asumsi tersebut adalah :
asumsi pertama : 9 x n menghasilkan angka-angka (puluhan dan satuan) yang berjumlah
sembilan
asumsi kedua : pada jawaban, angka puluhan adalah selisih satu lebih kecil daripada
angka pengali (puluhan sama dengan pengali dikurangi satu).
Kedua asumsi tersebut merupakan kesatuan yang tak bisa dipisahkan, dalam arti asumsi kedua merupakan penjelas / pelengkap asumsi pertama.
Langkah-langkah ke arah penemuan rumus :
Dari asumsi pertama, jika perkalian tersebut menghasilkan a puluhan dan b satuan, maka bisa dirumuskan sementara menjadi 9 x n = a & b. Selanjutnya, karena a dan b berjumlah sembilan atau a + b = 9, maka b bisa diganti dengan 9 - a.
Sehingga rumus sementara tadi bisa berubah
dari 9 x n = a & b
menjadi 9 x n = a & 9 - a.
Ini juga masih sementara karena terdapat dua variabel yang berbeda (yaitu n dan a), dan kedua variabel itu dapat dihilangkan salah satu dengan berpedoman pada asumsi kedua, yaitu (hasil) puluhan adalah sama dengan pengali dikurangi satu. Karena dalam hal ini puluhannya adalah a, maka a tersebut bisa diganti dengan n – 1. Selanjutnya rumus sementara tadi dapat berubah
dari 9 x n = a & 9 - a
menjadi 9 x n = (n –1) & 9 - (n -1).
Di tempat satuan pada rumus tersebut terdapat jawaban 9 - (n - 1) yang masih mungkin untuk disederhanakan dengan hukum distributif yaitu 9 – (n – 1) = 9 – n + 1 = 10 – n.
Setelah tempat satuan diganti 10 – n, maka rumus tersebut bisa ditetapkan
dari 9 x n = (n - 1) & 9 - (n – 1)
menjadi 9 x n = (n - 1) & (10 - n)
Dengan catatan : (n - 1) adalah puluhan dan (10 – n) adalah satuan.
Rumus ini hanya berlaku untuk 9 x n, dan n = bilangan 1 s.d 10. Sedangkan untuk n
bilangan di atas sepuluh ada rumus tersendiri pada uraian selanjutnya.
Contoh penerapan rumus tersebut :
9 x n = (n - 1) & (10 - n)
Jika n = 8 9 x 8 = (8 - 1) & (10 - 8)
= 7 & 2
= 72
Jika n = 6 9 x 6 = (6 - 1) & (10 - 6)
= 5 & 4
= 54
Jika n = 5 9 x 5 = (5 - 1) & (10 - 5)
= 4 & 5
= 45
Catatan :
1. Tanda ‘&’ pada rumus jawaban tidak usah dihilangkan dan tetap
(n - 1) & (10 – n), untuk menghindari salah faham. Jika dihilangkan
menjadi (n – 1) (10 – n), berarti (n – 1) x (10 – n).
2. Rumus tersebut bukanlah harga mati, melainkan masih bisa dirubah sesuai
dengan selera masing-masing.
3. Rumus tersebut kita beri nama Rumus I untuk membedakan dengan rumus-
rumus selanjutnya, yaitu untuk perkalian 9 x n, dan n bilangan di atas 10.
2. Rumus Perkalian Bilangan Sembilan dengan Bilangan di atas Sepuluh
Dalam perkalian 9 x n dan n adalah bilangan di atas 10, kita tetap menggunakan istilah puluhan dan satuan sebagai jawaban walaupun kenyataan jawabannya adalah bilangan yang lebih besar dari 100. Misalnya 9 x 63 = 567, maka jawaban tersebut terdiri dari 56 puluhan dan 7 satuan (untuk mempermudah menentukan rumusnya).
a). Untuk n = bilangan 11 s.d 20
Rumus II : 9 x n = puluhan & satuan
9 x n = (n - 2) & (20 - n)
Puluhan dan satuan berjumlah 18
Contoh penerapan Rumus II :
9 x n = (n - 2) & (20 - n)
n = 13 9 x 13 = (13 - 2) & (20 - 13)
= 11 & 7
= 117
n = 18 9 x 18 = (18 - 2) & (20 - 18)
= 16 & 2
= 162
b). Untuk n = bilangan 21 s.d 30
Rumus III : 9 x n = (n - 3) & (30 - n)
Puluhan dan satuan berjumlah 27
Contoh penerapan Rumus III :
9 x n = (n - 3) & (30 - n)
n = 23 9 x 23 = (23 - 3) & (30 - 23)
= 20 & 7
= 207
n = 28 9 x 28 = (28 - 3) & (30 - 28)
= 25 & 2
= 252
c). Untuk n = bilangan 31 s.d 40
Rumus IV : 9 x n = (n - 4) & (40 - n)
Puluhan dan satuan berjumlah 36
Contoh penerapan Rumus IV :
9 x n = (n - 4) & (40 - n)
n = 32 9 x 32 = (32 - 4) & (40 - 32)
= 28 & 8
= 288
n = 38 9 x 38 = (38 - 4) & (40 - 38)
= 34 & 2
= 342
d). Rumus Selanjutnya
Atas dasar beberapa rumus tersebut di atas, kita bisa mengembangkan sendiri rumus-rumus selanjutnya sampai dengan 9 x 100. Untuk perkalian di atas 100 perlu diteliti dulu sebelum menentukan rumus-rumusnya.
Untuk memudahkan kita menentukan rumus selanjutnya, bisa berpedoman pada tabel di bawah ini.
T A B E L R U M U S
NAMA
RUMUS Bilangan
n
Terkecil Terbesar R U M U S
H a s i l
Perkalian
Puluhan Satuan Jumlah
Puluhan &
Satuan
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
I 1 10 9 x n n - 1 10 - n 9
II 11 20 9 x n n - 2 20 - n 18
III 21 30 9 x n n - 3 30 - n 27
IV 31 40 9 x n n - 4 40 - n 36
V 41 50 9 x n …. …. ….
…. …. 9 x n ….. …. ….
Tanpa banyak komentar, tentu kita sebagai pembaca dapat membuat penalaran sendiri untuk menyimpulkan dan meneruskan tabel di atas. Kita perhatikan hubungan angka-angka pada lajur 3 dengan lajur 6. Demikian juga lajur 5 dengan lajur 6.
III. P E N U T U P
A. KESIMPULAN
1. Pada ilmu tertentu, suatu teori dapat dibangun atas dasar teori-teori yang telah ada sebelumnya. Dan ada kemungkinan teori tersebut dapat dijadikan dasar untuk membentuk teori selanjutnya (seperti penemuan rumus pada uraian di atas).
2. Perkalian suatu bilangan dapat dikerjakan dengan berbagai cara, tetapi dapat menghasilkan jawaban yang sama.
3. Menggunakan rumus dapat menghambat penyelesaian perkalian dengan bilangan kecil tetapi sangat membantu pada perkalian dengan bilangan besar.
B. SARAN
Untuk mengembangkan daya berfikir, sebaiknya para siswa tidak selalu diharuskan berpedoman pada suatu rumus, selama persoalan dapat difikirkan secara logis. Kecuali ada tujuan tertentu dari guru yang mengajarkan pelajaran tersebut.
ooooOOOoooo
