Rabu, 06 Juli 2011

RUMUS YANG ANDA BACA Di: Home » RUMUS PERKALIAN » MENCOBA MENEMUKAN DAN MENGGUNAKAN RUMUS UNTUK MEMECAHKAN PERKALIAN DENGAN SEMBILAN

MENCOBA MENEMUKAN DAN MENGGUNAKAN RUMUS UNTUK MEMECAHKAN PERKALIAN DENGAN SEMBILAN

Bagikan Soal Melalui :
MENCOBA  MENEMUKAN  DAN  MENGGUNAKAN  RUMUS  UNTUK
MEMECAHKAN  PERKALIAN  DENGAN  SEMBILAN

ABD. ROKHIM
NIP 131894497
Guru SDN Lajuk Kec. Gondangwetan
Kabupaten Pasuruan
 Jawa Timur




I. PENDAHULUAN


A. Latar Belakang
    Orang yang pandai di bidang matematika belum tentu dapat mengajarkan matematika dengan berhasil. Kesalahan teknis dalam penyampaiannya yang pertama (kepada anak didik) dapat berakibat fatal, seperti anggapan orang bahwa matematika merupakan hantu yang ditakuti dalam pelajaran. Sehingga tidak jarang siswa absen untuk menghindari pelajaran yang ditakuti tersebut. Apabila cara guru mengajar yang kurang demokratis, apa yang disampaikannya merupakan harga mati yang tak dapat ditawar-tawar lagi. Ini bisa berkesan bahwa matematika itu sulit dan kurang menyenangkan.
    Sebenarnya cara pemecahan soal dalam matematika ada bermacam-macam. Dan siswa hendaknya diberi kesempatan untuk memilih cara yang termudah menurut anggapan mereka. Kecuali ada tujuan tertentu dari guru yang mengajarkan pelajaran tersebut.
    Ingat apa yang pernah ditulis oleh PPIA (Perhimpunan Persahabatan Indonesia-Amerika) dalam “MONTHLY CALENDAR” (1993 – 1994) bahwa pendidikan hakekatnya adalah pencerdasan. Tetapi ia berubah menjadi pembodohan manakala pendidikan telah terjebak pada kecenderungan mempola, mencetak siswa sekedar pelaksana gagasan sang guru. Akankah lahir kreativitas karena kesempatan buat pengungkapan diri telah terampas ? Ini relevan pula dengan apa yang pernah ditulis oleh Drs. Achmad Sapari (pada contoh topik) bahwa kebiasaan guru bersikap otoriter terhadap anak dengan dalih menegakkan disiplin membawa dampak negatif terhadap kreativitas anak (Achmad Sapari, 1990 : 29).


B. Lingkup Pembahasan
    Salah satu konsep perkalian yang pernah ditanamkan oleh bapak / ibu guru kepada kita adalah konsep penjumlahan berulang, misalnya   3  x  5  =   5  +  5  +  5  atau  3 + 3 + 3 + 3 + 3  = 15. Selanjutnya kita disuruh menghafal perkalian tersebut di luar kepala. Sehingga manfaat dari ‘hafal perkalian’ tadi dapat dirasakan hasilnya kalau kita sudah sampai pada bab pembagian, kelipatan, dan faktor. Sebab untuk mempelajari kelipatan dan faktor, kita harus betul-betul menguasai perkalian dan pembagian, sedangkan perkalian itu sendiri berdasarkan penjumlahan tersebut yang sudah hafal (tanpa harus menjumlahkan secara berulang).
    Dengan tak bermaksud mengesampingkan dasar-dasar perkalian tersebut, tulisan ini mencoba menyajikan alternatif lain dalam menyelesaikan suatu perkalian. Dengan harapan bisa memberikan kesan kepada anak didik bahwa matematika itu mudah dan menyenangkan. Perkalian yang dimaksud adalah terbatas pada perkalian dengan sembilan, yaitu suatu perkalian yang salah satu faktornya adalah bilangan sembilan.



II. PERKALIAN  DENGAN  SEMBILAN  

    Secara hirarkhis, perkalian dengan sembilan ini kami urutkan cara pemecahannya sebagai berikut :
a.    menggunakan jari-jari tangan   
b.    berpedoman pada bilangan pengali sebagai jawaban
c.    menggunakan rumus.

A. Perkalian Bilangan Sembilan dengan Menggunakan Jari
    Sebagai batu loncatan dalam menemukan pedoman atau rumus perkalian dengan sembilan, kita dapat menggunakan jari-jari tangan sebagaimana telah kita ketahui bersama. Namun terdapat kelemahan pada perkalian dengan menggunakan jari tersebut karena tidak dapat mengalikan bilangan di atas sepuluh. Tetapi bagi siswa yang tidak atau belum mampu menghadapi perkalian, nampaknya cara ini masih cukup bermanfaat.
Caranya :
1.    Kedua telapak tangan menghadap kepada kita.
2.    Mulai jari paling kiri kita beri nomor urut dari no. 1 sampai dengan no. 10 pada jari paling kanan.     













         

3.    Dalam hal  9 x n,  maka  n  adalah bilangan yang terdapat pada nomor jari tersebut dan jari nomor pengganti  n  itu harus dilipat. Misalnya :
            a). 9  x  4  =  …., jari nomor  4  dilipat dan menghasilkan  3  jari di sebelah     kiri        
                 lipatan (sebagai puluhan) dan  6  jari di sebelah kanan lipatan (sebagai satuan).
                 Jadi  9  x  4  =  36          














9   
10     
         9 x  4  =  36

             b). 9  x    8  =  …., jari nomor 8 dilipat, menghasilkan  7  &  2  yang dibatasi oleh
                  jari nomor  8  yang dilipat. Jadi  9  x  8  =  72

                       















9    x  8  =  72

Dengan cara yang pertama ini siswa yang belum mampu menghitung hasil perkalian tersebut tidak akan merasa dibebani tugas yang memberatkan.


B. Perkalian Bilangan Sembilan Berpedoman pada Pengali (Bilangan yang Mengalikan).
    Bertolak dari perkalian dengan menggunakan jari tangan tersebut di atas, kita telah melihat bahwa setiap dilakukan perkalian selalu terdapat sembilan jari yang tidak terlipat. Sehingga melahirkan kesimpulan bahwa  9 x n  menghasilkan angka-angka berjumlah sembilan, dengan catatan  n  adalah bilangan  1  s.d  10.
Kita perhatikan perkalian (dengan sembilan) berikut :

    9  x  3  =  27   ============>   2  dan  7  berjumlah  9
    9  x  5  =  45   ============>   4  dan  5  berjumlah  9
    9  x  8  =  72   ============>   7  dan  2  berjumlah  9
    9  x  7  =  63   ============>   6  dan  3  berjumlah  9

Tentu tidak sembarang bilangan yang berjumlah sembilan dapat dipasangkan dengan tepat sebagai jawaban pada perkalian tersebut. Kita harus menggunakan pedoman tersendiri untuk menemukan pasangan sebagai jawabannya. Sebagai pedoman (jawaban) adalah angka puluhannya selalu selisih satu lebih kecil daripada bilangan pengalinya (puluhan sama dengan pengali dikurangi satu).
    Di bawah ini kita perhatikan hubungan antara bilangan pengali dengan angka puluhan pada hasil jawabannya.

            pengali           puluhan           satuan
       
    9  x    4    =    3        .
    9  x    6    =    5        .
    9  x    7    =    6        .
    9  x    8    =    7        .

Setelah menemukan angka puluhan pada jawabannya, kita dengan mudah dapat menentukan angka satuannya sehingga kedua angka (puluhan dan satuan) tersebut berjumlah sembilan. Sehingga perkalian di atas menjadi :


                                           9
            pengali           puluhan            satuan                  +
                                              
    9  x    4    =    3        6    ingat        3    6
    9  x    6    =    5        4            5    4
    9  x    7    =    6        3            6    3
    9  x    8    =    7        2            7    2

Demikian cara menggunakan pedoman pada bilangan pengalinya.
    Kedua cara perkalian seperti telah diuraikan di atas (sub A dan sub B) akan mudah diterapkan pada siswa SD sebagai permainan dan bukan sebagai hantu. Tentu mereka dengan senang mencoba-coba sendiri dengan bimbingan guru.

C. Perkalian Bilangan Sembilan dengan Menggunakan Rumus
    Pembahasan perkalian dengan menggunakan rumus ini kita bagi menjadi dua, yaitu :
1.    Perkalian bilangan sembilan dengan bilangan  1  s.d  10
2.    Perkalian bilangan sembilan dengan bilangan di atas  10   

1.Rumus Perkalian Bilangan Sembilan dengan Bilangan  1  s.d  10
    Kesimpulan dan pedoman pada uraian sebelumnya telah menghasilkan dua asumsi dasar yang dapat digunakan untuk menemukan suatu rumus. Kedua asumsi tersebut adalah :
asumsi pertama : 9 x n  menghasilkan angka-angka (puluhan dan satuan) yang berjumlah              
                             sembilan
asumsi kedua     : pada jawaban,  angka puluhan adalah  selisih satu lebih kecil  daripada
             angka pengali (puluhan sama dengan pengali dikurangi satu).
Kedua asumsi tersebut merupakan kesatuan yang tak bisa dipisahkan, dalam arti asumsi kedua merupakan penjelas / pelengkap asumsi pertama.

Langkah-langkah ke arah penemuan rumus :
    Dari asumsi pertama, jika perkalian tersebut menghasilkan  a  puluhan dan  b  satuan, maka bisa dirumuskan sementara menjadi  9  x  n  =  a  &  b.  Selanjutnya, karena  a  dan  b  berjumlah sembilan atau  a  +  b  =  9,  maka  b  bisa diganti dengan  9  -  a.
Sehingga rumus sementara tadi bisa berubah
    dari            9  x  n  =   a   &   b 
    menjadi     9  x  n  =   a   &   9   -   a.
Ini juga masih sementara karena terdapat dua variabel yang berbeda (yaitu  n  dan  a), dan kedua variabel itu dapat dihilangkan salah satu dengan berpedoman pada asumsi kedua, yaitu (hasil) puluhan adalah sama dengan pengali dikurangi satu. Karena dalam hal ini puluhannya adalah  a,  maka  a  tersebut bisa diganti dengan  n  –  1. Selanjutnya rumus sementara tadi dapat berubah
    dari          9  x  n  =     a    &   9   -   a
    menjadi     9  x  n  = (n –1) & 9  -  (n -1).
Di tempat satuan pada rumus tersebut terdapat jawaban 9 - (n - 1) yang masih mungkin untuk disederhanakan dengan hukum distributif yaitu  9 – (n – 1) = 9 – n + 1 =  10 – n.
Setelah tempat satuan diganti   10 – n,  maka rumus tersebut bisa ditetapkan
    dari          9  x  n  =  (n  -  1)  &  9  -  (n – 1)
    menjadi     9  x  n  =  (n  -  1)  &  (10  -  n)   
Dengan catatan :  (n  -  1) adalah puluhan dan  (10 – n)  adalah satuan.
Rumus ini hanya berlaku untuk  9 x n,  dan  n  =  bilangan  1  s.d  10. Sedangkan untuk  n
bilangan di atas sepuluh ada rumus tersendiri pada uraian selanjutnya.
Contoh penerapan rumus tersebut :

9    x  n  =  (n  -  1)  &  (10  -  n)
Jika  n  =  8           9   x   8  =  (8  -  1)  &  (10  -  8)
                     =      7        &        2
                     =       72

Jika  n  =  6           9  x  6  =  (6  -  1)  &  (10  -  6)
                   =      5        &       4
                   =       54

Jika  n  =  5           9  x  5  =  (5  -  1)  &  (10  -  5)
                   =      4        &     5
                   =       45

Catatan :
1.  Tanda   ‘&’   pada   rumus  jawaban  tidak  usah  dihilangkan  dan  tetap
                 (n  -  1)   &  (10  –  n),    untuk  menghindari  salah  faham.  Jika  dihilangkan
      menjadi  (n – 1) (10 – n),  berarti  (n – 1) x (10 – n).
2.  Rumus  tersebut  bukanlah harga mati,  melainkan  masih  bisa  dirubah sesuai
     dengan selera masing-masing.
3.    Rumus tersebut kita beri nama  Rumus I   untuk membedakan dengan rumus-
      rumus selanjutnya,  yaitu untuk perkalian  9 x n,  dan  n  bilangan di atas 10.

2. Rumus Perkalian Bilangan Sembilan dengan Bilangan di atas Sepuluh
    Dalam perkalian  9 x n  dan  n  adalah bilangan di atas 10,  kita tetap menggunakan istilah puluhan dan satuan sebagai jawaban walaupun kenyataan jawabannya adalah bilangan yang lebih besar dari  100.  Misalnya  9 x 63 = 567, maka jawaban tersebut terdiri dari  56  puluhan dan  7  satuan (untuk mempermudah menentukan rumusnya).

a). Untuk  n  =  bilangan  11  s.d  20

     Rumus   II  :  9  x  n  =  puluhan  &  satuan               
           9  x  n  = (n  -  2)  &  (20  -  n)
           Puluhan dan satuan berjumlah 18

     Contoh penerapan Rumus II :
9    x  n  =  (n  -  2)   &  (20 -  n)
      n  =  13         9  x  13  =  (13  -  2)  &  (20  -  13)
                 =        11       &     7
                  =         117
    
      n  =  18         9  x  18  =  (18  -  2)  &  (20  -  18)
                 =       16        &      2
                 =        162


b). Untuk  n  =  bilangan  21  s.d  30

      Rumus  III  :  9  x  n  =  (n  -  3)  &  (30  -  n)
            Puluhan  dan satuan berjumlah  27

      Contoh penerapan Rumus III :
9    x  n  =  (n  -  3)  &  (30  -  n)
      n  =  23          9  x  23  =  (23  -  3)  &  (30  - 23)
                  =       20       &      7
                  =       207

      n  =  28          9  x  28  =  (28  -  3)  &  (30  -  28)
                  =       25       &       2
                  =        252


c). Untuk  n  =  bilangan  31  s.d  40

      Rumus IV  :  9  x  n  =  (n  -  4)  &  (40  -  n)      
              Puluhan dan satuan berjumlah  36

      Contoh penerapan Rumus  IV :
9    x  n  =  (n  -  4)  &  (40  -  n)
      n  =  32          9  x  32  =  (32  -  4)  &  (40  -  32)
                  =       28       &      8
                  =        288

     n  =  38          9  x  38  =  (38  -  4)  &  (40  -  38)
                 =       34       &       2
                 =        342


d). Rumus Selanjutnya
   
    Atas dasar beberapa rumus tersebut di atas, kita bisa mengembangkan sendiri rumus-rumus selanjutnya sampai dengan  9  x  100.  Untuk perkalian di atas  100  perlu diteliti dulu sebelum menentukan rumus-rumusnya.
    Untuk memudahkan kita menentukan rumus selanjutnya, bisa berpedoman pada tabel di bawah ini.


T A B E L   R U M U S


    NAMA
RUMUS    Bilangan
n

Terkecil   Terbesar    R  U  M  U  S
                                H  a  s  i  l
 Perkalian                     
                       Puluhan            Satuan    Jumlah
Puluhan &
Satuan
      (1)        (2)             (3)           (4)                 (5)                   (6)                      (7)
I        1                10      9  x  n            n  -  1              10  -  n         9
II       11               20      9  x  n            n  -  2              20  -  n            18
III       21               30      9   x  n           n  -  3              30  -  n        27
IV       31               40      9  x  n            n  -  4              40  -  n        36
V       41               50      9  x  n              ….                   ….        ….
….     ….      9  x  n             …..                   ….        ….


Tanpa banyak komentar, tentu kita sebagai pembaca dapat membuat penalaran sendiri untuk menyimpulkan dan meneruskan tabel di atas. Kita perhatikan hubungan angka-angka pada lajur  3  dengan lajur  6.  Demikian juga lajur  5  dengan lajur  6.

III. P E N U T U P


A. KESIMPULAN

1.    Pada ilmu tertentu, suatu teori dapat dibangun atas dasar teori-teori yang telah ada sebelumnya. Dan ada kemungkinan teori tersebut dapat dijadikan dasar untuk membentuk teori selanjutnya (seperti penemuan rumus pada uraian di atas).
2.    Perkalian suatu bilangan dapat dikerjakan dengan berbagai cara, tetapi dapat menghasilkan jawaban yang sama.
3.    Menggunakan rumus dapat menghambat penyelesaian perkalian dengan bilangan kecil tetapi sangat membantu pada perkalian dengan bilangan besar. 


B. SARAN

Untuk mengembangkan daya berfikir, sebaiknya para siswa tidak selalu diharuskan berpedoman pada suatu rumus, selama persoalan dapat difikirkan secara logis. Kecuali ada tujuan tertentu dari guru yang mengajarkan pelajaran tersebut.
                                                        



ooooOOOoooo

Silahkan Baca Juga di Bawah ini

0 komentar:

Poskan Komentar

 
Suka Soal-soal? Follow @dikutip